基于“過程”理念的教學設計有效性的實踐與反思

張煒

摘 要：義務教育數學課程標準（2011版）（以下簡稱新課標）指出，數學課程內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程.課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系.

關鍵詞：教學設計；課堂有效性；過程理念

一、背景介紹

新課標中對于教學內容的組成結構以及教學實施中不遺余力的強調“過程”的出現，說明過程在教學設計中的地位可見一斑.新課標中不僅指出過程是教學內容的有機組成部分，同時也強調在教學中要重視“過程”教育，“過程教育”對于課程內容“完美”的呈現，提高課堂有效性也是至關重要的.下面筆者結合浙教版九年級上冊3.7正多邊形（以下簡稱3.7節）概念的形成、概念的內涵，重點的掌握、難點的突破四個關鍵環節，淺談“過程”理念在教學設計有效性的實踐與探索，以期拋磚引玉的作用.

二、教學實錄

環節1 在尋覓數學的過程中落實數學概念的發現

愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題.而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想像力，而且標志著科學的真正進步.為此，筆者在3.7節讓學生在生活中發現數學，尋找正多邊形出現的“倩影”.在經歷正多邊形的發現過程中體會概念學習的意義.具體操作如下：

師：同學們，聽了孫楠的《五星紅旗》，我們黑板上方懸掛的五星紅旗漂亮嗎？

眾生：漂亮.

生紛紛搶答，形成共識：紅旗上的五角星（圖1的左側）看起來比較正、顯得神圣、莊嚴.不能更改.

師：同學們說得很好，看來，數學的圖形飽含了豐富的蘊意.用數學的眼光看，五角星（圖1）是從一種五邊形（圖2）中產生的，（幻燈片）五角星上的五邊形有何特殊性呢？（提示：可以從五邊形的邊角描述）

設計意圖 從現象到本質，從外觀到數學的抽象，用數學的眼光看世界.從圖形的比較、歸納、概括形成概念，從一般到特殊.

生1：我發現它的邊和角（內角）都相等.

師：這個同學指出了這種多邊形的主要特征，你們認為應該怎樣稱呼呢？

眾生：叫正多邊形.

師：你們在身邊還能找到哪些類似的正多邊形呢？以小組為單位，比比誰的發現多？并指出判斷的依據.

設計意圖 從抽象回歸現實，從特殊到一般，學生在做中學.筆者在巡視小組活動中發現，平時一些不愛舉手的同學也活躍起來.正多邊形的概念及學習意義來源于“鮮活”的實例，直觀、具體.這樣的數學活動學生參與度高，寓教于樂.

環節2.在自我體驗的過程中享受中國文化的內涵

師：你們覺得正字有怎樣的文化內涵？請大家把昨天自己的預習成果展示一下，請小組代表發言.

生2：我們從字典中了解到正字的含義如下…….

生3：我們是從網上查詢到的，內容如下……

生4：我們是在圖書館查閱知識小百科……

師：將同學們的自學成果匯總如下一起朗讀一遍（投影顯示）：

正：中國漢字，多音字，讀作zhèng或者zhēng，表不同的意思，常用讀音為zhèng，意思是不偏斜，平正.它象征著正氣、莊嚴、神圣.

下面請大家欣賞老師搜集的一些含有“正”字形的圖案（見圖3）

設計意圖 現在數學課堂上提到數學文化，就是課本里固有的幾個“單薄”的幾何定理：勾股定理，平方差公式的圖形解釋.在很多師生的心目中，數學就是枯燥的代名詞，數字和字母的抽象.在他們的心目中數學的美、數學的文化永遠是望塵莫及.我國已故數學大師陳省身先生曾說過：數學有趣、數學好玩、數學很美.細想，你不讓學生真正的動起來，凡事都自己包攬，怎么會將數學冰冷的美麗化成火熱的思考呢？奧古斯特·羅丹（Augeuste Rodin1840～1917）法國著名雕塑家指出，這世界并不缺少美，而是缺少發現美的眼睛.學生通過各種渠道進行查閱，拓展了正多邊形概念的視野.形成學生對于中國數學文化的內心震撼，漢字只用一個簡單“正”字就囊括了這種圖形的豐富內涵.這不就是中國數學文化的魅力嗎？.

環節3 在動手實踐過程中探究知識的重點

3.7節的重點是發現和掌握正多邊形的內角公式，以及根據內角公式結合正多邊形的外接圓確定相應的正多邊形.如果學生認識了正多邊形的概念馬上進入內角公式的學習未嘗不可，但會讓學生有突兀之感.為什么學正多邊形的內角公式呢？為了讓學生心悅誠服接受內角定理的出現，筆者做了如下整合.

師：正多邊形在生活中如此豐富，你能畫出哪些正多邊形？并介紹畫法.

（為了便于比較，假設正多邊形的邊長選定為4cm，） 給學生作圖的時間（3——5分鐘）

設計意圖 教師改變一味灌輸的作風，把思考的時間和空間還給學生，給學生參與問題解決的過程.教師改變“過程短暫”的作風，新課程倡導教師是學生學習的組織者、引導者、合作者，教師再巡視發現學生的困難，因材施教.

師：我發現多數同學拿著筆束手無策，你們為什么感到困難呢？

生5：老師，我想畫正五邊形，但不知道五邊形的內角是多少？

師（面向其他同學）：你們的困惑一樣嗎？

生眾：是的，不知道正多邊形的內角的大小.

師：每個正多邊形根據邊長都不好畫嗎？

生6：老師我們組發現，等邊三角形可以畫三邊相等實現，正方形可以借助三角板本身有直角便于操作.正三角形和正方形還是根據邊長的條件容易畫圖.但是從正五邊形就不好畫了.（見圖4）

師：看來，從正五邊形開始，正多邊形畫圖中除了邊的因素，內角的大小也是關鍵.每個正多邊形的內角的大小是多少呢？有何規律呢？

眾生很快得出正多邊形的每個內角公式=（n-2）180°n（n≥3）.

設計意圖 從動手畫到動手算，從學生的活動實踐的過程中認識到內角公式的必然性.著名作家肖川的作品《教育的理想與信念》，他在書中說“當我們學會用等待的心情看待學生時，我們就會對學生少一點苛責、少一點失望、少一點冷漠，而多一份理解、多一份信心、多一份親切”.新課程倡導教師“用教材而不是簡單地“教教材”.教師要創造性的使用教材，要在使用教材的過程中融入自己的科學精神和智慧，要對教材知識進行重組和整合.選取更好的內容對教材深加工，設計出活生生的、豐富多彩的課來.充分有效地將教材的知識激活，形成有教師教學個性的教材知識.既要有能力把問題簡明地闡述清楚，同時也要有能力引導學生去探索、自主學習.

環節4.在憤悱的反思過程中突破難點

教學參考中指出3.7的難點是正五邊形的尺規作圖思路，它只是為我們教學設計提供了一定的參考依據，但是教材的難點還需要結合具體的學情，難點是教學設計動態的產物.學生的不同則難點的確定也需要與時俱進.在3.7這一節中，筆者通過課前的預習調查的反饋，學生最大的困惑是前面幾節都是圓的有關概念，如：圓心角、圓周角、圓內接四邊形等等，都有圓的“結緣”，而到了正多邊形從標題上絲毫和圓“無緣”.所以在正多邊形的內角學習之后，沒有消除這個疑惑，馬上就拋出正多邊形的外接圓就成為學生學習的難點.如何穿針引線、實現知識的有效銜接？如何教給學生一個清晰地知識脈絡，實現課堂的和諧？筆者把正多邊形的外接圓的形成過程作為作圖的探究點.在形成思維上的多樣性的同時，形成正多邊形的必要性.具體如下：

師：剛才同學們結合正多邊形的概念，根據邊、角的關鍵數據產生了正多邊形的畫法.譬如：畫一個邊長為4cm的正五邊形，先確定一邊，再根據內角公式得出，內角的大小=（n-2）180°n，取n=5，（5-2）180°5=180°量取108°，以此類推等等；這種畫法也是正多邊形產生的基本畫法.還有其他的產生方式嗎？（教師一方面結合教材前面學習的內容作為提示：在3.1第二小節中正三角形的外接圓，3.6圓內接四邊形的例2內接正方形閱讀；另一方面教師提供中國從古至今結合圓結合正多邊形創造美的圖片素材給學生欣賞，刺激學生的聯想獲得啟發.見圖5）很快學生得出新的畫圖方式，利用圓的等分得到正多邊形的途徑.圓的等分又來源于圓心角的等分結構.從而圓與正多邊形的聯系順理成章.

設計意圖 建構主義認為，學生不是被動的信息接受者，學習不是知識由教師到學生的簡單轉移或傳遞，而是在師生共同的活動中，教師通過提供幫助和支持，使學生主動地建構自己知識經驗的過程，這種建構是任何人所不能代替的.

知識的意義不是簡單地由外部信息決定的，而是在學習過程中，通過新舊知識經驗間反復的、雙向的相互作用過程建構獲得的.每一個學習者，都是在自己原有的經驗系統的基礎上對新信息進行編碼，建構自己對信息意義的理解.而且原有的知識經驗由于和新的信息的相互作用其本身也會產生調整和改變.

三、過程觀的教學反思

1.教學設計有效性應遵循教學的以學定教的三個要素：學什么？為什么學？怎樣學？數學作為一門科學，來源于生活又服務于生活.只有將數學融入生活學生才會將數學冰冷的美麗化成火熱的思考，本節課的教學設計的素材簡單，樸素.注重學生的現實生活，素材來源于草根性，具有“本土化”的特色.

2.本節課的教學設計主線自然、連貫.首先，采用從學生熟知的國旗上的五角星，發現正字的含義，體會生活中處處有數學，數學離不開生活，體會正字圖形的現實意義；其次，從國旗上的五角星發現正五邊形的必要性，根據五邊形與多邊形的聯系，揭示正多邊形的概念，從特殊到一般的思考過程.再根據正五邊形類比其它的正多邊形，從而體會正多邊形的概念.另外，注重學生的直接經驗，根據學生對于五角星的直觀認識挖掘五角星的正多邊形的背景，結合多邊形學生已有的認知，從正五邊形延伸到其他正多邊形的比較思考.以學生直接經驗——國旗上的正字圖形的起源認識為主線，經歷正五角星到正五邊形直接經驗的鋪墊，從而為認識正多邊形概念的間接經驗的獲得提供了認識基礎.通過如何辯識正多邊形引出正多邊形的概念，如何畫正多邊形產生正多邊形的性質，如何創造正多邊形的數學美引出正多邊形的外接圓的概念，環環相扣.奇趣橫生.學生學得輕松，教學設計的結構夯實自然.

3.新課標中指出，數學是研究數量關系和空間形式的科學，在教學設計中每個環節都要體現數學作為科學的本質，教學設計要有“數學味”.本節課的教學設計充分挖掘數學的科學性.從三個關鍵詞，識、做、聯.識，從眾多的生活素材認識辨析正多邊形，從而形成正多邊形的學習意義的過程；做，就是讓學生學習成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程；聯，就是讓學習的方式賦予時代的氣息，具有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、聯想、猜測、計算、推理、驗證等多維度的活動過程；改變教師一味灌輸，學生成為知識的容器的機械記憶的教學設計過程.

4.孔子在《論語·述而》中指出：“不憤不啟，不悱不發，舉一隅，不以三隅反，則不復也；”強調教師的教學設計的啟發式要結合學生的 “最近發展區”，符合學生的認知規律.3.7節中的導入設計這一環節，教材提供了關于正五邊形的圖案素材作為引例，如果不考慮學生的實情教師照本宣科，似乎也可以說得過去.但是目前的學生多數是教室、食堂、家庭的三點一線的生活方式，既使雙休日休息了，也對于身邊的生活素材接觸不多.筆者認為在教學導入設計中采用國旗的五角星作為引例，可以兼顧學生學習經歷的真實性，促進教學設計的社會價值和育人價值.學生對于五角星耳熟能詳，又在教室里，既生動又具體.這里的情感教育甚至愛國教育又都在學生課堂上的聽說讀寫中“流淌”，既經濟又實惠.避免了蒼白的喊口號的中國偉大，幾千年的文明史等等.

5.建構主義認為學生的學習有效性需要的是事實上的感知，不是空洞的說教.本節課通過國旗的五角星感知正的圖形意義的過程，聯系正五角星存在于正五邊形，根據五邊形是多邊形的一個具體寫照的過程，類比其它正多邊形（如：正三角形、正方形、正六邊形等）認識正多邊形的現實意義，通過眾多具體形象的歸納概括正多邊形的特征的過程給出概念，符合數學認識的規律，具有合理的啟發式效果.

6.數學思想方法的學習不能是簡單抽象的結果，而是潤物細無聲的滲透過程.本節課的數學思想方法內容豐富.從特殊到一般，從歸納到抽象、概括形成概念，這些都在學生的觀察、實驗、猜想、推理、歸納驗證等科學的操作過程實現，不是簡單的告知.

7.目前，在教學設計中存在急功近利、不切實際的現象.要么把數學教學設計簡單認為數學完全就是數字和圖形符號的數學抽象，忽視數學與中國文化的結合.要么過分夸大國外數學的成果，忽視數學在中國的發展歷史上的淵源.說起中國數學好像就只有勾股定理和九章算術.教師不學習數學史尤其是中國的數學史，學生只知道勾股定理，忽視了數學知識的中國特色，數學知識的與時俱進.數學文化的育人價值的中國味不可小覷.

8.3.7節中結合過程觀在教學設計上沒有只停留在認識幾個正多邊形的概念，會畫幾個正多邊形的圖案，會算幾個正多邊形的內角的過程.而應放眼在深刻挖掘教材的設計意圖，培養學生體會圖形中所彰顯的數學文化底蘊的過程.首先，通過學生課前的自主預習，主動探究正的數學文化內涵.通過中國古代藝術品到現代文明的紅旗設計以及圖片欣賞古代數學文化的傳承.感受中國人用正多邊形表達思想感情，追求美好生活，創造美好生活中國味的數學文化，通過課下的正多邊形的數學設計作業培養學生的感受美、創造美的拓展.

9.古人云，“授之予魚，不如授之予漁”.目前在課堂教學中存在不良傾向，盲目追求課堂的容量和深度，有專家指出，這樣的教學過程其實缺乏真正的“過程”，屬于天上掉下一個林妹妹的現象.本節課的教學設計注重數學方法的層次性和多樣性.結合過程教育立足實現學生不僅知其然，更知其所以然.

10.新課標中指出，重要的數學概念和數學思想要體現螺旋上升的原則.教學設計應具備全局的特色，層次性指出教學的過程由淺入深，因材施教.本節課的教學設計從學生熟知的場景入手，讓學生經歷知識的形成過程，知識的理解和運用過程.強調了以學生的認知為主線（基礎知識和基本技能），通過層次性的數學活動實現蘊涵在知識中的數學思想方法的體會和理解，并形成問題解決的經驗過程，第一個層次，先觀察紅旗中的五角星，從正五角星找到正五邊形的縮影，認識正多邊形的必要性，這個層次

基礎差的同學也感興趣.在這個層次中落實正多邊形從直觀的感性認識到抽象的概念的辨析和思考.提升學生對于含有“正”的圖形的認識，感受中華民族文化的博大精深.第二個層次，通過等邊三角形、正方形、正五邊形等作圖認識到正多邊形內角的計算公式（n-2）180°n，感受正多邊形產生從定性到定量的過程，這也是正多邊形自身的實現方式，體現思維的直接型.第三個層次，利用學生學過的圓內接正三角形、正方形等認知，猜想如何利用圓確定正多邊形.實現思維的多樣性，從思考的層次性，由直接型到間接型.從而產生圓內接正多邊形的概念，并且從內接正多邊形，欣賞正多邊形的基礎上的美麗圖案，到體會正多邊形的數形結合思想.第四個層次，從圓的角度產生正多邊形，也可以從五角星認識到中國的五角星的美麗，正多邊形的魅力.通過多樣性增強課堂教學設計的合理性.首先從視覺的感官中認識正多邊形的存在性和學習的必要性，其次，從正多邊形的作圖為主線，通過一系列的動手操作，又從直觀性的視覺到理論上的探究，從抽象的概念認識轉化成具體的數據來衡量，又是從形到數 從抽象到具體的操作過程，通過一些具體的正多邊形作圖操作，從直接多邊形到輔助圓產生正多邊形，體會從一般到特殊，從直接到轉化的操作過程……認識到正多邊形產生的多樣性和數學的和諧美.認識到正多邊形創造多樣性美的生活元素.

理念決定行動，正確的教學理念產生合理有效的教學行為，引領正確的教學設計.新課程標準中的“過程”觀是我們教學設計的航標，細讀課程基本理念，仔細對照教材，認真落實過程才會真正落實課堂教學有效性，我們的課堂有效性就不會成為一句空話.

參考文獻：

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