探究2016年江蘇高考填空壓軸題解謝

淇尤裕法

摘要：2016年江蘇數(shù)學(xué)高考其中填空題第13題的向量問(wèn)題需要觀察出幾個(gè)向量之間的線性關(guān)系，充分利用中點(diǎn)，對(duì)平面向量的線性運(yùn)算要求較高；第14題重點(diǎn)在于利用三角形中三個(gè)角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)△ABC的性質(zhì)，再利用函數(shù)思想求解最值，對(duì)三角函數(shù)的綜合要求較高.本文主要從不同的角度對(duì)這兩個(gè)題目進(jìn)行剖析，每題都給出了5種不同的解題方法

關(guān)鍵詞：江蘇高考；填空題；解題方法

例1（13題）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是

解題思路本題考查向量的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.用基底表示其它向量是解答本題的關(guān)鍵，與此同時(shí)建立直角坐標(biāo)系同樣可以簡(jiǎn)潔有效的解答本題.

解法1 ∵BA·CA=4，

∴（BD+3DF）（CD+3DF）=4，

即BD·CD+9DF2=4，

又∵BF·CF=-1，

∴（BD+DF）（CD+DF）=-1，

即BD·CD+DF2=-1

∴BD·CD=-138，DF2=58，

∴BE·CE=（BD+2DF）（CD+2DF）=BD·CD+4DF2=78

解法2由BA·CA=（BE+EA）（CE+EA）=BE·CE+BE·EA·CE+EA2=4，①

BF·CF=（BE+EF）（CE+EF）=BE·CE+BE·EF+EF·CE+EF2=-1，②

∴①+②=2BE·CE+2EF2=3，

∵E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴EF2=DF2，

由（法一）可知DF2=58，即EF2=58，

∴2BE·CE=3-54=74，則BE·CE=78

解法3BA·CA=（12BC-AD）·（-12BC-AD）=4AD2-BC24=36FD2-BC24=4，

BF·CF=（12BC-13AD）·（-12BC-13AD）=4FD2-BC24=-1，F(xiàn)D2=58 ，BC2=132.

BE·CE=（12BC-ED）·（-12BC-ED）=4ED2-BC24=16FD2-BC24 =78 .

解法4設(shè)DF=a→，DB=b，則DC=-b→，DE=2a→，DA=3a→

由題BA=3a→-b→，CA=3a→+b→，BE=2a→-b→，CE=2a→+b→，BF=a→-b→，CF=a→+b→，

則BA·CA=9a→2-b→2=4，BF·CF=a→2-b→2=-1，

所以可得a→2=58，b→2=138，

則BE·CE→=4a→2-b→2=78

以D為原點(diǎn)，BC邊所在的直線為x軸，BC的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖2）.

設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），A點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c），

∴BA=（b+a，c），CA=（b-a，c），

BF=b3+a，c，

CF=b3-a，c，

由BA·CA=4，BF·CF=-1可得b2+c2-a2=4，b29+c29-a2=-1，

解得b2+c2=458，a2=138，

∴BE·CE=4b29+4c29-a2=78

解法5特殊法：將△ABC看成以BC為底，AB、AC為腰的等腰三角形來(lái)進(jìn)行求解（如圖3）

解后反思求解平面向量的有關(guān)問(wèn)題，通常有兩種處理方法：一是選擇兩個(gè)不共線的向量作為基底，通過(guò)將所有的向量轉(zhuǎn)化為基底的方法來(lái)加以處理；二是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)加以解決.一般情況下，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)可操作性強(qiáng)，而運(yùn)用向量的基底時(shí)對(duì)思維的要求較高.

例2（14題）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是

解題思路本題考查三角恒等變換、基本不等式的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查考生對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.我們可以發(fā)現(xiàn)本題所研究的對(duì)象為角的正切形式，為此，將條件轉(zhuǎn)化為所要研究的角的正切，可以通過(guò)應(yīng)用消元法或直接應(yīng)用基本不等式來(lái)求最值.此外，我們還可以應(yīng)用“切化弦”的方式，將切轉(zhuǎn)化為我們熟悉的弦來(lái)加以解決.在求最值的時(shí)候，基本不等式、導(dǎo)數(shù)無(wú)疑是不錯(cuò)的選擇.在利用基本不等式求解最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”條件的檢驗(yàn).

解法1由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

兩邊同除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，

又∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

∴tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥

22tanAtanBtanC，

（當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4，

tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時(shí)取等號(hào)）

∴tanAtanBtanC≥8

解法2

tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

=-tanB+tanC1-tanBtanC+2tanBtanC

=2tanBtanCtanBtanC-1+2tanBtanC

令tanBtanC=t，

則tanAtanBtanC=2tt-1+2t=2t-1+2（t-1）+4≥8

（當(dāng)且僅當(dāng)tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時(shí)取等號(hào)）

解法3由（法二）可知

tanAtanBtanC=2（tanBtanC）2tanBtanC-1，

令tanBtanC=t，則tanAtanBtanC=2t2t-1，

令f（t）=2t2t-1，則f ′（t）=4t（t-1）-2t2（t-1）2

=2t2-4t（t-1）2，

令f ′（t）=0，解得t=0（舍）或t=2，

易知t=2時(shí)函數(shù)f（t）取到最小值，即f（t）min=8

解法4由sinA=2sinBsinC，可得sin（B+C）=2sinBsinC，

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

則sinBcosC=sinC（2sinB-cosB），

即sinB2sinB-cosB=sinCcosC，12-1tanB=tanC，

∴2-1tanB=1tanC，即1tanB+1tanC=2

設(shè)tanB=b，tanC=c，則1b+1c=2，b+c=2bc，

tanA=-tan（B+C）=2tanBtanCtanBtanC-1=b+cbc-1，

∴原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1=21bc-1bc2=2-1bc-122+14≥8

（最后一步亦可以這樣處理：原式=b+cbc-1·b·c=bc（b+c）bc-1=2（bc）2bc-1，令bc-1=t，則bc=t+1，則原式可化為2（t+1）2t=4+2t+2t≥4+2t+2t=8（當(dāng)且僅當(dāng)tanB=2+2tanC=2-2或tanB=2-2tanC=2+2時(shí)取等號(hào)））

解法5∵tanAtanBtanC=sinAsinBsinCcosAcosBcosC，

又∵sinA=2sinBsinC，

∴tanAtanBtanC=sin2A2cosAcosBcosC，

又∵cosA=sinBsinC=cosBcosC，

∴cosBcosC=sinBsinC-cosA=12sinA-cosA

故tanAtanBtanC=sin2A2cosA12sinA-cosA

=tan2AtanA-2

=（tanA-2）+4tanA-2+4

≥24+4=8

（因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以tanAtanBtanC>0，故tanA-2>0），當(dāng)且僅當(dāng)tanA=4時(shí)取等號(hào)，故tanAtanBtanC的最小值為8

解后反思本題的關(guān)鍵在于如何進(jìn)行消元，這是解決多變?cè)獑?wèn)題要認(rèn)真思考的.

以上就是我對(duì)2016江蘇數(shù)學(xué)高考13、14題的一些解法的研究，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家懷特海在《教育的目的》一書(shū)中提出：在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，你的結(jié)果越具體越好，而涉及方法時(shí)，則是越一般越好.推理的基本過(guò)程是將特殊的東西一般化，將一般的東西特殊化，沒(méi)有一般化就沒(méi)有推理，沒(méi)有具體化則毫無(wú)意義.所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，很多題目都可以用多種方法進(jìn)行求解，這就要求我們要善于總結(jié)思考，找到最簡(jiǎn)單的方式去解答題目.

參考文獻(xiàn)：

[1]陽(yáng)漢軍 2016年高考四川卷解析幾何壓軸題的求解視角[J]中學(xué)生數(shù)理化，2016（8）：35

[2] 華騰祥2016試卷分析[J]學(xué)苑教育，2016（12）68