巧用導數求解“優化問題”

曹迎滔

摘 要：在高中數學教學中，用導數求解“優化問題”正日益成為考題的熱點。同時，“優化問題”在高考中的要求也在逐步提高，由原來考綱要求的了解層面提高到了理解層面；并且，涉及“優化問題”的試題難度也在逐步加大，并且大多與其他知識交匯，由原來的容易題、中檔題提升為中檔題、難題。

關鍵詞：數學；導數；優化

在現實生活中，我們會遇到在工業生產上產品產值最高，企業運作上利潤最大，房地產商蓋樓時面積的最小或者最大，印刷紙張上用料最小，生產效率最高的問題，這些問題通常稱為“優化問題”。面對此類問題，建立數學模型，然后利用導數求導是解決“優化問題”的有效方法。本文主要談一下如何根據實際問題，“建模、求導”解決生活中的“優化”問題。

一、用導數解決“優化問題”的題型

主要是以下幾方面：（1）用“導數”解決和幾何相關的面積最值、體積最值問題；（2）用“導數”解決和產品利潤及其成本相關的最值問題；（3）用“導數”求解與物理現象有關的最值問題；（4）用“導數”解決和效率相關的最值問題。這些“優化問題”統統可以歸納為求函數的最值問題。

二、用導數解決“優化問題”的思路

數學“優化問題”（建模）——函數關系式（解決數學建模）——求導（作答）——答案（考慮實際意義）。

三、用導數解決“優化問題”的步驟

第一，根據實際情況，針對實際問題、分析問題中的各變量之間的關系，建模（列函數關系式），寫出函數關系y=f（x），并寫出變量的取值范圍（定義域）。

第二，根據已知y=f（x），求出其導數f ′（x），然后列方程求解f′（x）=0，得出極值點的值。

第三，已知x的取值范圍，然后在取值范圍內確定端點和極值點值的大小，得到答案（最值）。

第四 ，檢驗結果是否符合實際意義（依據函數定義域）。

（1）列出函數關系式（利潤和生產量）；

（2）年產量為多少千件時，利郎公司在這利郎男裝的生產中所獲利潤最大。（注：年利潤=年銷售總收入-年總成本）具體解析不再贅述。

四、用導數解決“優化問題”時應注意的問題

一是用導數解決生活中的“優化問題”時，關鍵是要建立合適的數學模型。當問題中涉及多個變量時，應根據題意分析它們的關系，列出符合題意的關系式，并確定函數的定義域，并考慮實際意義。

二是在解決實際問題時，常常會遇到函數在區間內只有一個點使f ′（x）=0的情況，若函數在該點有極（大或小）值，則不與端點值比較，也可以知道這就是最（大或小）值。

三是在用導數求解實際問題的最（大或小）值時，且要考慮問題的現實意義，不符合實際的應舍去。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學）