立足思維起點指向思維深刻

凌佳

一、習題背景分析

數學知識的鞏固、內化、拓展離不開必要的練習。設計練習題時應摒棄機械的“題海戰術”，更應注重練習本身的開放性、科學性、挑戰性和思維含量。好的練習作為一堂課好的學習材料，不僅應該具有起點低、開放度大等特點，而且要保證人人都能參與，能在同一個問題情境中使不同水平的學生有不同的獲得，而且學生能夠通過練習探尋有價值的數學任務，滲透轉化思想，發展學生合情推理能力和創新思維能力。基于以上的思考，筆者設計了以下幾組習題。

二、習題設計

（一）習題呈現（第一題組）

先目測，哪個長方形的周長長？哪個長方形的面積大？

如果A長10厘米，寬4厘米，B長7厘米，寬6厘米。

先猜一猜，哪個長方形的周長長？哪個面積大？再算一算，哪個的周長長？哪個的面積大？

【練習目標】

1.引導學生從已有的知識和經驗中，交流發現的規律。

2.引導學生辯析“一個長方形，如果周長比較長，那么面積就比較大”，這樣的說法對不對？并說明理由。

3.組織小組合作學習，通過自己的方法證明這個結論的對與錯。

【設計意圖】練習設計需從學生的學習起點出發，本組練習學生的學習起點是周長和面積的概念及計算方法，這是學生都有的知識基礎，讓每個學生都能融入課堂積極地思考問題。順著學生原有的認知，發現在條件改變后學生產生的困惑點和易錯點，通過辯析、小組合作等學習方式，牢牢抓住學生的思維起點，感悟周長較長的長方形面積不一定大。

（二）習題呈現（第二題組）

1. 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。要圍出盡可能大的花園，長和寬分別可能是多少？面積是多少？

2. 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。如果一面靠墻，要圍出盡可能大的花園，長和寬分別是多少？面積是多少？

3 用一條長24米的籬笆圍出一個長方形花園。如果兩面靠墻，要圍出盡可能大的花園，長和寬分別是多少？面積是多少？

【練習目標】

1.基于第一題組可以得出結論：周長長的長方形，面積不一定大。通過追問“如果周長一定，那么什么情況下面積最大呢？”引發學生思考。

2.鞏固雙基，建立知識結構，發展學生思維，提高學生的推理能力和解決問題的能力，加強對概念的理解。

【設計意圖】本習題設計從不靠墻，到一面靠墻，再到兩面靠墻，將同一問題情境分成三種不同情況讓學生經歷解決問題的過程。尤其是當一面靠墻的時候，學生會遷移不靠墻的經驗，覺得長和寬最接近的時候面積最大，而事實并非如此。因為不靠墻是“長和寬之和一定”的情況，而一面靠墻是“長和兩倍寬之和一定”的情況，與之前的結論相矛盾，既而引發學生重新思考問題。好的數學問題不僅不會讓學生形成思維定勢，還會激發學生思維火花的迸發。當兩面靠墻時，因為有了之前的思考作為鋪墊，絕大多數學生不難在對比和感悟中找尋到問題解決的策略，從而靈活地應對不同情況下的問題。本組習題不僅給了后進生鞏固基礎知識的機會，而且訓練了優等生的數學思維，讓不同水平的學生有不同的獲得。

（三）習題呈現（第三題組）

1.一張長30厘米、寬20厘米的長方形紙，周長和面積分別是多少？一次對折后，猜想周長和面積各是多少？再驗證你的猜想。（計算驗證）

猜想：周長=50厘米 面積=300平方厘米

2.再一次對折后變成圖2中的a（空白部分），猜想一下它的面積是多少。思考你是怎么驗證你的想法的？展開后將a（空白部分）剪去，變成了圖2中的b（黑色部分），b的周長和面積各是多少？

【練習目標】

1.動手操作，初步感受長方形經過對折之后，周長和面積發生了怎樣的變化。

2.在動手操作中感受數學的魅力，體驗成功的喜悅，從而幫助學生建立自信，培養學生從幾何直觀到抽象思維的過渡，再一次調動學生參與課堂教學的積極性。

【設計意圖】本組習題讓學生先經過大膽猜想，然后動手操作，再通過自己的實踐直觀感受到長方形的周長和面積發生著怎么樣的變化，從而驗證自己的猜想。借助學生畫的直觀圖，幫助學生理清求圖形b的周長可以轉化為求原長方形的周長，有機滲透轉化思想，促進學生求異創新思維能力的發展。教師應該多創設對學生具有思考價值的問題、能激發其自主學習的有探究性的數學任務，這樣，我們的課堂才會更有數學味。

（四）習題呈現（第四題組）

1.把圖2中的a（空白部分）往里推，變成圖3的形狀，它的周長和面積又是多少呢？

2.如果把凹進去的部分往上翻，變成圖4的形狀，它的周長和面積又是多少呢？

【練習目標】

1.提煉總結，幫助學生完成知識建模，其他學生補充、交流，同時學會總結回顧知識的方法。

2.在學習知識的同時，培養學生學會總結的能力。

【設計意圖】將不規則圖形變成“凹”和“凸”兩個形狀的圖形（電腦動態演示）。先引導學生對話“凹”和“凸”，“凸”對“凹”得意地大笑：“我不僅面積比你大，而且周長比你長。”讓學生扮演“凹”進行反駁。學生根據表面觀察，容易產生“凸”的周長比“凹”的周長長的認識偏差，通過相互辯駁，使學生明晰道理，將學生思維引向深入。通過計算，再次打破了學生原有的“周長越長的圖形面積越大，面積越大的圖形周長也越長”的思維定勢。在此基礎上，引導學生抽象、概括并總結出“周長相等的圖形面積不一定相等，面積相等的圖形周長不一定相等”的結論，從而揭示數學規律。在對比、體驗和感悟過程中，不僅提升了學生的理性思維，也有效培養了學生思維的深刻性。

三、設計感悟反思

數學習題教學，不僅要尊重數學知識本身，更要重視對學生數學思維能力的培養。這樣才能使學生擁有一雙用數學視角觀察世界的眼睛，擁有一個能進行數學思維的頭腦，擁有一種能用數學方法解決問題的能力，才能把數學的根留住，讓學生真正擁有智慧。這四組習題將教學的著力點放在發展學生的合情推理能力、創新思維能力上，重視實踐探索，引導猜想驗證，啟迪學生思考，教給思考方法。

（一）引導猜想驗證，發展合情推理能力

猜想是一種合情推理能力，屬于綜合性的認知過程。學生在“猜想—驗證”的問題探索過程中，能親身經歷用合情推理發現結論的推理過程，在探索過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。解答習題中引導學生將長方形紙對折，有的左右方向對折，有的上下方向對折，打開都變成兩個小長方形。然后學生猜想對折后每個小長方形的周長和面積各多少。最后計算驗證自己的猜想。接著又經歷第二次對折，讓學生猜想連續對折兩次后這個小長方形的面積，要求學生想想怎么驗證自己的猜想，并鼓勵學生用多種方法驗證自己的猜想。學生先經過大膽猜想，然后動手操作，從實踐中直觀感受長方形的周長和面積發生著怎樣的變化，讓學生通過計算驗證自己的猜想，既發展了學生的合情推理能力，也讓學生在實踐探索中感受到數學的魅力，體驗到成功的喜悅。

（二）尋求多種策略，發展創新思維能力

創新離不開思維，沒有思維就不可能有創新。本習題在設計時并不滿足學生已有的思維成果，而是引導學生從不同角度思考和探索，進行創造性的解決問題。先將長方形按左右、上下連續對折兩次后展開，再減去右上角的四分之一的小長方形，然后將剪去的空白部分往里推變成“凹”，最后將凹進去的部分往上翻變成“凸”。學生在計算每個不規則圖形的面積時，并不拘泥于狹隘的解題思路，突破單一的思維模式，敢于打破常規，轉換角度進行思考，沿著不同方向，對同一問題從多角度加以解決，學生的創新思維能力得到有效培養。

（三）組織比較辨析，發展思維的深刻性

組織比較辨析，有利于讓學生的思維在比較、辨析中走向深刻，進而發展學生思維的深刻性。數學中經常用到的數形結合既是一種重要的數學思想，又是一種獲取知識和解決問題的有效方法。習題利用數形結合的方式，引導學生從形的方面去研究，進行形象思維；從數的方面去分析，進行抽象思維。對各種圖形進行有序排列整理，在對比、體驗和感悟中讓學生體會各種圖形周長和面積的變化規律，感悟變與不變的數學思想，提升了學生的理性思維。

本習題設計以發展學生的思維能力為主線，通過一張長方形紙的不斷變化，在變化中求深刻。讓學生在實踐中體驗，在體驗中思考，在思考中感悟，在感悟中創造，使學生的思維能力得以提升。

（浙江省湖州市織里實驗小學教育集團 313008）