分數基本性質“圖式思維”水平差異研究

張君霞

【摘 要】小學四、五年級學生讀圖水平相對較高，自己畫圖的水平較低。看圖寫分數時，由面積模型的圖形寫分數比線段模型的圖形寫分數的正確率要高。同是面積圖形，“拆分圖”比“擴充圖”學生更能理解兩個分數的相等。教學中要創設多元圖式、引導畫圖驗證、鼓勵主動溝通。

【關鍵詞】等值分數 圖式思維 水平差異

圖式思維是一個動手作圖、觀察讀圖、思考想圖、動筆畫圖、開口表達等數學理解活動的過程，其中幾何直觀、數形結合是核心思想。圖式思維對分數的基本性質理解到底有什么幫助呢？學生分數的基本性質圖式水平差異在哪？哪些因素影響圖式思維水平？如何通過分數的基本性質的學習培養圖式思維呢？本文將圍繞上述問題展開研究，主要從讀圖、畫圖、表征互譯的維度展開相關的實證研究。在學生沒有學習分數基本性質之前進行測查。前測在有一定代表性的5所學校（其中城區2所，鄉鎮3所）近1000名學生中進行，年級跨度從四年級到五年級，時間跨度從2015年到2017年，現將相關結果呈現如下。

一、“圖式思維”水平差異呈現

（一）有多少學生具備了基本的讀圖能力

讀圖是圖式思維的第一步，是學生獲取數學知識的重要方法與技能，通過讀圖活動讓學生感知理解等值分數，建立直觀表象。

本測試題共12空，每空1分（具體題目見下文表5），具備讀圖能力的學生達到79.3%，也就是說，大部分學生已經具備了等值分數的讀圖能力，為性質的表達、概括、解決實際問題打下良好的基礎。

（二）從讀圖到畫圖存在多大的認知跨度

“讀圖”到“畫圖”的跨越，預示著學生的思維從感知走向理解，引發學生對知識進行深層次的思考，使外在指尖操作轉化為內在的邏輯思維。

圖式水平從讀圖到讀畫結合，最后到畫圖表征，正確率呈下降趨勢，可見會讀圖并不代表會畫圖。在理解圖式過程中，學生還不能夠熟練、有序地完成性質的直觀可視化理解。

（三）學生能用圖像表征說明分數相等嗎

表征是指信息或知識在心理活動中的表現和記載的方式。四、五年級的學生圖像表征能力究竟如何？

上表數據以真分數為例，統計結果表明“能正確說明兩個分數為什么相等”的比例在百分之五十左右。

學生能用圖像表征等值分數的意義嗎？在前測中，我們發現自主選用圖形說明的比例高達59.5%，其中能正確作圖的占39.5%（見下文圖6）?？梢娭庇^圖式是學生最主要的表征形式。利用圖式表征有利于學生對性質進行直觀化理解，讓表達方式更深刻、多元。

大量的數據顯示，學生已經具有一定的圖式思維意識與能力，但我們也可以看到他們的圖式思維水平存在著明顯的差異，那么形成差異的原因是什么呢？

二、“圖式思維”成因分析

學生存在差異的原因是多種多樣的，除了學生自身的認知水平對圖式思維能力有影響，學習材料是否也有影響？影響有多大？什么樣的學習材料更有利于學生理解分數的基本性質呢？

（一）哪種圖式更有利于學生理解等值分數

看圖寫分數并判斷大小，我們發現面積模型正確率最高。如果再進行單項分析，我們發現針對“看圖寫分數”這個要求，面積模型的正確率最高，而實物圖式對于判斷大小的幫助最大。指向線段圖的題目則正確率最低。顯然，模型的抽象度的不同，其可視功能亦有差異。

（二）同是面積圖，對圖式思維影響有差異嗎

不同的圖式，會影響讀圖水平，那么同是面積圖還會有差異嗎？我們先來看教材對面積圖的運用，例如北師大版教材（如圖1），通過從合并圖到擴充圖，讓學生來理解分數的擴充，再從擴充圖到合并圖，讓學生來理解分數的約分，從合并到擴充，采用兩幅或多幅對比圖理解分子分母的變化。

再看臺灣部編版教材（如圖2），在同一個圖上擴充份數來理解等值分數。那么，哪一種圖式更利于學生理解呢？

從中我們看出利用拆分圖涂色，正確判斷大小的比例為92.6%，遠高于利用合并、拆分對比圖判斷大小68.18%的正確率（數據見表3）。

為什么拆分圖會更利于學生理解等值分數呢？如圖3，學生想到[12]是容易的，因為陰影面積帶給學生直觀的視覺沖擊，是顯性的，但是對于圖4，學生要想到[816]卻是不容易的，因為這是隱性的，需要經過重新拆分的思維。

（三）不同的分數例子對圖式水平的影響有多大

對比國內幾套教材，除北師大版外，都以[12為]例題，這是為什么呢？也許你要說肯定是因為它簡單。誠然，[12]是最簡單、最貼近學生認知經驗的例子，但我們還要追問，它究竟為什么簡單？又簡單在哪些方面呢？我們先一起來看看不同的分數例子對圖式思維水平的影響。

從表6我們可以看出，與[12]相關的題，正確率最高。此外在前測中我們也發現，它的表征形式也更多元，學生出現的答案有“它們都表示物體的一半”“結果都等于0.5”等，圖形樣式也更豐富。其實學生對分數的最初認知就是從“一半”開始，通過對折、對折、再對折進行操作強化，分數的基本性質從“[12]”開始，切合學生的現有知識經驗和生活經驗。另外，假分數教材都沒出現在第一課時，這是為什么呢？從前測看，假分數的正確率最低，說明理解更難。北京師范大學發展心理研究所的韓玉蕾指出，理解假分數的等值性處于最高的第四水平。

三、基于圖式思維水平差異實證研究的教學啟示

（一）創設多元圖式，完善多維理解

讀圖其實質是對知識編碼的過程，經歷從操作到表象的體驗過程，教學過程中可以通過提供多元化圖式，將尋找等值分數的過程可視化。多元化分數類型，激發多元表征的創造力，逐步引導學生經歷了解、理解、掌握及至運用分數的基本性質的過程。

（二）引導畫圖驗證，提升表征水平

多元表征是對知識的精加工。當學生用自創的符號解釋數學時，其實質是對知識的重構理解，體現從被動模仿到自主探究的創作過程。我們認為，可以增加“舉例驗證”“畫圖說明”的數學探究過程，從而培養圖像表征水平，提升利用畫圖解決問題的能力，發展思維水平。

502班和503班為實驗班級，前測顯示，這兩個班能用圖式正確表征等值分數的比例顯然高于對比班。他們基本能通過繪畫等操作活動，以去情境的面積圖、線段圖為主，會用自創的符號系統表征等值分數（如圖5）。但對比班更多是用“因為分子分母同時擴大或縮小相同的倍數，所以分數大小不變”這樣的方法循環說明，學生不知道“采用什么方式解釋為什么陳述為真”，只注重性質的機械運用，直觀水平或表征意識不足，不會或不習慣畫圖表征，并不能表示他們已經真正理解了知識的本質。

但從前測中我們也發現，只有少數學生的作圖水平能達到抽象與關聯的高水平階段，即能進行知識以及知識之間的關系的網絡圖形化表征，比如我們發現也有學生利用分數墻發現[35]=[610（如圖7）]，直觀表征他們之間的聯系。另外，有20%的孩子存在圖式單位不統一的錯誤（如圖6）。

分數的基本性質本質是構造分數單位不同但大小相等的分數，其核心在于“分數單位”，在“度量”中尋找等值分數。因此在教學中，我們要強調比大小是在統一單位“1”的前提下進行，還應注重圖式與語言之間的聯系，以圖8為例，可以讓學生先觀察[159]和[53]表示數軸上的同一個點，直觀理解什么是等值分數，再觀察將數軸上的三份并作一份，直觀理解分子分母同時除以3的規律，從而概括分子分母同時除以3分數大小不變的規律。如此分兩步圖式理解分數的基本性質，為學生理解性質搭建逐級上升的腳手架。

（三）鼓勵主動溝通，提升概括水平

思維最顯著的特征是概括性。蘇聯心理學家魯賓斯坦就把概括分為初級的“經驗概括”和高級的“理論概括”。從大量的舉例驗證經驗中概括出分數的基本性質為經驗概括，而在此基礎上，通過演繹解釋，判斷分數的基本性質與商不變規律之間的必然聯系，達到現象間的規律性認識為理論概括。前測數據顯示（如表8），學生在這方面的能力不高，尤其是理論概括。從表中不難看出，通過三個例子概括分數基本性質的正確率只有百分之二十多一點。

過分強調形象思維容易形成思維的單一性，我們在日常教學中應更多設置“概括”環節，培養“概括”能力，強化文字、符號與圖像的互化，提升圖式語言與抽象邏輯語言之間的互譯能力，將圖式思維趨向深刻。

（本文受到葛素兒老師的悉心指導，在此表示衷心感謝?。?/p>

參考文獻：

[1]葛素兒.通過圖像表征促進小學數學理解教學[J].課程教學研究，2012，（12）.

[2]（美）基思·德夫林著，林恩譯.數學思維導論——像數學家一樣思考[M].北京：人民郵電出版社.2016，（1）.

（浙江省麗水市實驗學校小學部 323000）