讓學生經歷“給算式講故事”的活動

【摘 要】乘法算式背后的情境主要有四種類型：第一是平均分組；第二是搭配組合；第三是過程迭代；第四是人為規定。為了給學生設計這樣的“給算式講故事”學習活動，教師應當熟悉這些類型的情境。

【關鍵詞】乘法 算式 情境 計算

在乘法計算的教學中，同樣可以讓學生經歷“給算式講故事”的學習活動。看到一個乘法算式，僅僅知道這個算式表示“相同加數求和”，并且能夠正確計算結果，這仍然是不夠的。還要能夠聯想出不同類型的情境，與相應的算式建立聯系，因此就需要經常讓學生經歷“給算式講故事”的活動。對于教師來說，應當了解這樣的情境包括哪些類型。

一、平均分組

與乘法有關的情境最為常見的就是“平均分組”。比如，“全班學生分為了8組，每個組有4名學生，全班共有4×8=32名學生。”如果把全班同學看作整體，一個小組的同學看作局部，那么這一類情境反映的是局部與整體的關系。

平均分組還可能表現為同一對象的“重復變化”。比如，“小明每天吃2個蘋果，一個星期7天，一共吃掉2×7=14個蘋果。”這個情境相當于說同一個人“吃2個蘋果”的動作，重復了7次。英文中表示“次數”的單詞“Time”，同時也是“乘”的意思，大概源于這個含義。這一過程也可以看作是將14個蘋果平均分為7組，每一組有2個蘋果。因此同一對象的重復變化也可以看作是平均分組的類型。

另外一類是同一對象“成倍變化”的情境，比如，“一個小企業年初的資本總額是5百萬元，經過一年的經營，使得企業資本增加為原來的3倍。年底時這個企業的資本總額是1千5百萬元。”這一過程實際上是將年底時總資本分為了“原有”和“增加”兩組，原有和增加部分的總和是原有的3倍，也可以認為增加部分是原有部分的2倍。

與前面論及加法的情況類似，平均分組也經常表現為不同對象數量的比較。比如，“一個養殖場養兔180只，養雞數量是養兔數量的5倍，這個養殖場養雞180×5=900只。”這一情境實質上是將養雞數量平均分組，每一組數量與養兔數量相等。

平均分組還有一種類型表達的是比例的關系，比如：“一個沒有關緊的水龍頭，平均每分鐘流出7升水，那么一小時（60分鐘）會流出7×60=420升水。”相當于是將420升水平均分為了60份，每一份是7升水。成比例關系的情境中，涉及兩類不同的變量，在這個情境中一類變量是水量，另一類變量是時間，兩者的關系可以用表1來表示。

對于平均分組類型的情境，每一個乘法算式都可以衍生出兩個除法的情境，一個是已知總量和每組數量，求組數，通常稱之為“包含除”；另一個是已知總量和組數，求每組數量，叫作“等分除”。

二、搭配組合

搭配組合類型的情境，指的是兩個集合中的對象進行一對一的搭配。比如，“一家服裝商店，有7種款式的男式上衣，9種款式的男式褲子，如果每種款式的一件上衣和一條褲子可以搭配成一套男裝。那么一共可以有9×7=63種不同款式的男裝可以出售。”此類情境與前面平均分組有明顯的區別，情境中并沒有出現明顯的組數和每組數量，是需要通過人為的思考進行分類，進而轉換為平均分組的情況。

思考的過程大致是先任意取出一個款式的上衣，與褲子搭配一共可以有9種可能；又由于上衣款式一共只有7種，相當于將全部男裝平均分為了7組，每一組都是9套男裝，所以全部搭配可能性就是7個9相加，也就是9×7=63套男裝。

再比如，“從家到學校路過一個超市，從家到超市有2條路線，從超市到學校有3條路線。那么從家到學校共有2×3=6條路線。”這個情境的思考與前面男裝的情境是類似的，相當于是“2條路線”與“3條路線”進行搭配。（見圖1）

這種搭配組合的情境類型在組合數學中也叫作“乘法原理”或者笛卡爾乘法（Cartesian product），其應用是非常廣泛的。比如，如果想要知道“一共有多少個兩位整數”，就可以運用這個方法，任意確定一個十位數字，與之搭配的個位數字可以是0～9中的任意一個，共有10種搭配方法。而十位數字可以是1～9中的任意一個，所以共有9種選擇，那么全部兩位數的個數就是9個10相加的結果。也就是10×9=90個。

三、過程迭代

“過程迭代”表達的是“倍數的倍數”的關系，也可以叫作“倍之倍”的關系。比如，“動物園一只小象，第一年過生日時體重是出生時的3倍，第二年過生日時體重是第一年生日時的2倍。那么這只小象第二年過生日時體重是出生時的3×2=6倍。”

這種“倍之倍”的情境，在幾何中研究封閉圖形邊長與面積的關系時很常用。比如，一個長方形的長擴大為原來的2倍，寬擴大為原來的3倍，那么長方形的面積擴大為原來的多少倍？（見圖2）

圖2中左上方小長方形，如果長擴大為原來的2倍，相當于變化為圖中上面的兩個小長方形，寬擴大為原來的3倍，相當于第一排的2個小長方形變化為圖2的大長方形。也就是相當于是“2倍的3倍”等于6倍。

這種關系在分數乘法中也很常見，比如在《莊子天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的說法，第一天取出一尺之棰的一半，第二天取出剩下的一半，也就是一半的一半，因此第二天取出的是一尺之棰的[12×12=14]。

四、人為規定

乘法中的“乘”，其本義是人站在樹上的意思。（見圖3）

原始的字形起初也是人在樹上的象形。（見圖4）

因此可以推斷出“乘”的本義有“升高”的意思，不斷升高就有累積的意思了。在人類活動中需要描述多種因素累積的過程時，往往就會采用或者借用乘法。

比如對于行車走路的情境，可以將路程看作是速度和時間兩個因素累積起來的，因此就有了路程、速度、時間三者的關系：速度[×]時間=路程。類似的在工程問題中，工作總量可以看作是工作效率和工作時間累積而得，因此就有“工作效率[×]工作時間=工作量”的關系。

對于平面上的封閉圖形，人們有比較大小的需求，而且對于長方形發現其長度和寬度的長短可以制約圖形的大小，因此就利用兩者乘積規定為表示圖形大小的概念，稱之為面積。因此也就有了諸多的面積公式。比如長方形的面積是“長度[×]寬度=面積”。類似的還有體積公式等。

在實際的工程問題中，經常需要預算工程的經費。傳統的工程的費用，除了原材料等因素外，主要取決于兩個因素，一是參與工程建設的人數，二是完成工程的時間，因此單純用人數或者單純用時間進行預算都不合理，而用兩者乘積作為預算的標準就是常用的方法。比如，一項工程需要500人天，就意味著100人需要5天，20人需要10天等等。這里就是人為制造了一個“人天”的概念，人數、時間和人天的關系就是借用了乘法進行描述，即“人數[×]天數=人天”。

這樣的想法還被用于社會科學的研究。比如，如果把一個人的素養理解為成功行動的先決條件，那么一個人的素養的形成就主要取決于知識和經驗，因此就有“素養=知識[×]經驗”的說法。

計算教學不能僅僅關注所謂算法和算理，還應當關注何時需要這樣算的問題。也就是要讓學生逐步熟悉算式背后各種各樣的情境，因此在設計計算教學的學習活動中，應當讓情境與算式互動起來。

參考文獻：

[1]郜舒竹. 算式與情境的辯證關系[J]. 教學月刊·小學版（數學），2017，（4）.

[2]字源網. 查詢字源（乘）（EB/OL）. http：//www.fantizi5.com/ziyuan/.2017-4-22.

（首都師范大學初等教育學院 100048）