什么樣的數學教學要不得（二）

鄭毓信

對于“什么樣的數學教學要不得”這一問題的思考，不僅有利于實際教學工作的改進，也能實際地檢驗一下這些年的課改實踐效果。特別是對于低年級的數學教師而言，在教學中采用什么樣的教學方法、選擇什么樣的考核方式等等，這些都會影響學生今后的學習和成長。本刊第4期已刊發“過度的規范要不得”及“美國式的數學教學要不得”兩部分內容，已得到了廣大教師讀者的積極響應，本期繼續刊發“不講道理的‘簡易算法要不得”及“過分注重‘速度的考核要不得”兩部分內容，以饗讀者。也歡迎各位教師對于“什么樣的數學教學要不得”這一話題能結合自身的案例教學展開分析和探討。

三、不講道理的“簡易算法”要不得

以下的實例不僅與教師的教學密切相關，更直接涉及了教學內容的適當性，這也就是說，我們不應只是關注教學中應當采取什么樣的教學方法，而且也應對教材中各項內容的適當性做出自己的獨立思考。

【例6】數學教學中是否應當教這樣的“簡易算法”？

這是某教材三年級下冊的一項內容：“有趣的乘法計算”。其中以“找規律”的形式引入了關于“兩位數乘兩位數”的兩個簡易算法，希望通過找出“一個兩位數與11相乘”（如24×11，53×11，62×11等）其得數的規律，以及“兩個十位上的數相同、個位上的數相加等于10的數相乘”（如24×26等）其得數的規律，幫助學生“算得又快又對”。

教材中突出強調了“找規律”（“探索和發現規律”）的這樣兩個關鍵：（1）“通過仔細觀察和比較發現規律”；（2）“發現規律后，要通過計算進行驗證”。如：

“這幾題的乘積會有什么特點？先算一算、填一填，再和同學交流。”

積的末兩位是怎樣算出來的？末兩位前面的數呢？

積的末兩位等于兩個乘數個位上的數相乘。

積的末兩位前面的數等于……

先直接寫出下面各題的得數，再用豎式計算驗證。

15×15= 43×47= 69×61=

筆者在此所關注的則主要是兩個問題。

第一，我們為什么要讓學生學習這樣的“簡易算法”？具體地說，數學教學是否應當刻意地讓學生算得更快？進而，即使學生并未真正理解相關算法背后的道理，就只要能讓學生掌握相關的算法，或者說，能夠牢固地記憶并能按照相關法則機械地加以應用，相關的教學就算獲得了成功？

建議讀者在此還可實際地去調查一下：就剛剛學完了這一內容的三年級學生而言，有多少可以說出這兩個簡易算法背后的道理？再則，就曾經學習過這一內容的小學高年級學生乃至中學生而言，又有多少仍會采用所說的算法，特別是其中的第二種算法去從事相關的計算？另外，利用所說的算法與直接用豎式進行計算相比究竟又快了多少？

另外，還應強調的是，這事實上又可被看成“走向核心素養”這一整體性教育思想給予我們的一個重要啟示。數學教育的主要作用就是促進學生思維的發展，特別是，我們應通過自己的教學去幫助學生逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。進而，依據這一立場，我們顯然也就可立即引出這樣一個結論：我們在教學中不應唯一地關注學生的“即興反應”能力，而是應當更加重視學生“長時間思考”的習慣與能力的養成。（詳可見另文“‘數學核心素養之我見”，《教育視野》，2016年第4期）總之，上面的論述可被看成為我們深入思考教學中是否應當引入所說的“簡易算法”提供了直接背景，特別是，除去單純的“快”以外，這還有什么積極意義，又是否具有一定的消極影響？

當然，后一問題的思考就直接關系到了這樣一點，即是相關的教學如果未能讓學生真正弄清算法背后的道理，而只是停留于“牢固記憶”和“機械應用”上，那么，就如上一節中所已指明的，學生恐怕就很難“學得進、記得住、用得上”，更必然地會對他們今后的數學學習活動產生一定的消極影響，特別是，因此而形成若干錯誤的觀念。

上述分析自然就直接關系到了筆者所要提出的第二個問題。

第二，將數學中的“找規律”簡單地歸結為：（1）“通過仔細觀察和比較發現規律”；（2）“發現規律后，要通過計算進行驗證”。這樣做是否也會對學生的數學學習造成一定的消極影響？

事實上，在筆者看來，這也正是數學教學在當前所存在的又一普遍性問題，即是“找規律”活動的盛行，但無論就相關的教材編寫或是具體的教學活動而言，應該說都存在不小的問題，特別是，（1）有很多所謂的“找規律”事實上根本不能被看成“規律”。（2）人們往往以“發現規律、檢驗規律”統一地去處理相關內容的教學，而未能認識到不同的內容與場合應有不同的教學重點。（3）盡管有些活動確實可以被看成真正的“找規律”，但我們往往又在不知不覺之中將“學生的自主探究”變成了“假探究”。（詳可見另文“‘找規律教學中的若干誤區”，《小學教學設計》，2014年第3期）

就我們目前的論題而言，筆者還要特別強調這樣一點：這事實上也直接關系到國際數學教育界通過對20世紀90年代在世界范圍內普遍開展的“大眾數學”這一改革運動進行反思所得出的以下教訓。正是針對上述改革運動中經常可以看到的現象：學生往往滿足于用實驗方法求得了具體解答，甚至教師也以此作為自己唯一的教學目標。人們提出：“數學并不停止于實驗，而必須把它與理性的解釋聯系起來。在這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統一的數學結構？”也正因此，“在鼓勵學生在數學中進行實驗的同時，我們又應向他們指出實驗方法的局限性：通過實驗所得出的發現不應被看成終點，而只是邁向以某種廣泛的數學結構為背景的更全面理解的第一步”；與此相對照，“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟，因為，“證明正是數學的本質所在”。（詳可見 H. Wu[伍鴻熙]，“Some Observation on the 1997 Battle of the two Standards in the California”，An expanded version of a Colloquium Lecture at the California State University at War，Sacramento，Feb. 12，1998）

當然，就這方面的具體教學工作，我們又應充分考慮到學生的認知發展水平，這也就是指，小學數學教學不應盲目去提倡嚴格的證明。但是，作為問題的另一方面，筆者以為，我們又不應滿足于由簡單歸納去得出結論，而應對其真理性做出進一步的思考，由“什么可能為真”轉向“這為什么是真的”，包括嘗試著用自己的語言對此做出清楚的說明。

由以下的分析即可看出后者并非一個過高的要求。

只需對相應的豎式計算作一些調整，特別是改變計算的“序”，包括書寫的方式，我們就可立即看出隱藏在上述簡易算法背后的道理。

當然，這里的關鍵就在于教師自身對于具體算法背后的道理是否有清楚的認識！

四、過分注重“速度”的考核要不得

教學中我們應當很好地處理“快”與“慢”之間的辯證關系，特別是，我們不應以思維速度的快慢作為評價學生學習情況的主要標準，而應更加關注如何能為學生“長時間思考”創設必要的外部環境或氛圍。例如，教師在課堂上提出問題以后，不應一味地鼓勵學生盡快做出反應：“看誰先舉起手來？”“看看誰已經做出來了？”從而在不知不覺中對那些仍在進行思考的學生施加了較大的壓力，而是應當表現出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”并應注意引導學生更仔細、更深入地去進行思考。

在此要強調的是，除去適當的教學方法以及教學內容的必要審視外，我們也應注意分析數學考核在這方面的可能影響。

以下就是這樣的一個實例。

[例7] 不應提倡的數學考核。

這是筆者新近見到的一份“試卷”：“義務教育教科書數學三年級上冊期末調查試卷”。足足4頁占滿了2大張紙，有六個大題22個小題，還不包括16個口算題與6個筆算題（其中有2個要求學生進行驗算），有些小題還做了進一步的細分，由一、二、三和1、2、3等進一步過渡到了（1）（2）（3）等——這樣，總的算來，一份試卷就共有63個問題需要學生給出解答，還不包括畫圖（如“畫一個正方形和一個長方形，使它們的周長相等”）、涂色（如“用不同的顏色在下面的大長方形中涂色表示種兩種蔬菜的地”）等；考試的時間是一節課，短短的40分鐘（事實上延長到了60分鐘）。

當然，這份試卷中的有些問題，特別是所說的“口算題”與“筆算題”，其主要目的就是檢查學生的計算能力，也即他們是否較好地掌握了這方面的基本技能。但是，由于并非所有的問題都如此簡單，以致大多數學生無須任何深入思考就可立即寫出答案，因此，我們就應認真地去思考這樣一個問題：這樣的考核是否給學生的思考留下了足夠的時間？

例如，以下就是試卷中以“填空題”的方式出現的兩個“小問題”（每個空格占1分）：

（1） 用12個1平方厘米的小正方形紙片拼成一個長方形，這個長方形的周長最短是（ ）厘米，最長是（ ）厘米。

（2） 把一張邊長12厘米的正方形紙片剪成4張同樣大的長方形紙片，每張長方形紙片周長是（ ）厘米。

以下則是筆者在嘗試求解上述問題時的實際經歷：其一，由于第一個問題的解答必須考慮到各種可能的情況，筆者就首先采取了“畫草圖”的方法；進而，盡管由此總結出“共有3種情況”并不很難，但要找出“最短和最長的周長”，我們顯然還必須就這三種情況分別進行計算，然后才能通過比較獲得正確的解答，從而也就必然地需要花費較多的時間。其二，面對第二個問題，筆者頭腦中立即出現的是這樣一個“心理圖像”，將原來的大正方形分成了4個同樣大的長方形，而通過進一步的思考才認識到這一做法是錯誤的，因為，問題中所要求的是“4個同樣大的長方形”，而非“正方形”。有點可笑的是，筆者甚至還遲疑了不小一會才認識到究竟什么是題目中所指的“分法”，當然此時再去從事計算就沒有什么困難了，特別是，如果此時我們也能采取“畫草圖”的方法。

但是，在題量如此之大的情況下我們的學生是否有時間去進行上述的思考？或者說，面對數量如此之多的考題他們是否能夠真的定下心來進行哪怕是稍微深入一點的思考？面對筆者的疑慮也許有教師會做出這樣的解釋，我們的學生在平時早已做了不少類似的練習，即如“用12個1平方厘米的小正方形紙片拼成一個長方形”究竟有幾種拼法，其中何者有最長或最短的周長等等，因此在考試時就根本不用做任何深入的思考，而只須通過簡單回憶和少量計算就可立即寫出正確答案。這些教師所說的情況也許是真的，但在筆者看來，這恰又進一步突現了這樣一個問題：這樣的考試（與教學）究竟體現了怎樣的導向？難道我們所追求的就是記憶與模仿，而不是學生的積極思考與思維發展嗎？

愿有關各方在命題時也能經常想到這樣一些問題，從而切實避免由于不適當的考核對學生的成長造成不應有的消極影響。

筆者的這一提醒是否有點言過其實，過于夸大了？相信讀者由臺灣學者的以下論述就可更清楚地認識這一問題的重要性，后者即是指，如果我們經常使用這種“大運動量”的考題，就必然會使學生徹底陷入“應試教育”的泥潭，不僅未能養成“長時間思考”的習慣與能力，也會完全喪失掉對于數學的興趣與自信。“臺灣學生在歷年國際評比的數學表現、成就表現始終名列前茅，然而……學生對于數學的功用、喜愛和自信心的表現卻始終是倒數前幾名……呈現出‘高成就、低信心的特征……猜測造成此現象的主要原因來自于考試制度下的數學學習特性，學生為獲取較高分數，必須使用適當的演算法快速求得答案……學生少有時間與機會發展自己的思想，學習多為被動、背誦及反復練習的方式。”（林福來，《主動思考》，開學文化[臺灣]，2015，第3頁）

為了更清楚地說明問題，在此還要特別提及這樣兩個事實。

其一，這是現實中經常可以聽到的一個“應考策略”：“如果面對一個考題一下子似乎無從下手，就把它擱置一旁，先去求解那些較為熟悉、較為容易的題目！”

現在的問題是：這是否也在上述的錯誤方向上起到了推波助瀾的作用？

其二，這是美國學生普遍持有的一個觀念：“每個問題都只需化5～10分鐘就可解決，否則就不可能單憑自己的努力獲得解決。”另外，在對九到十二年級的12個數學班所作的一次調查中，針對以下的問題“如果你理解了題材，對于家庭作業中的一個標準問題需要多少時間去求解？”學生回答的平均數是2.2分鐘！

那么，學生究竟是如何形成這一觀念的呢？美國著名數學教育家舍費爾德對此做了專門的研究。他寫道：“在整個學年中，我們所觀察的12個班級中沒有一個學生所做的數學作業可以稱得上嚴格意義上的數學問題。學生所做的都是些練習，而設計這些作業的目的則是為了表明學生對于學科內容的較小組塊的掌握情況，并要求這些作業能在較短時間內得以完成。例如，在一個標準的5天工作周中，學生分別被要求完成28、45、27和30題‘家庭作業。……教師并讓學生盡可能多地在黑板上演示家庭作業的答案。考慮到作業的數量，這就意味著他期望學生能在45分鐘的時間內完成20題或更多的‘問題。事實上，在一次關于軌跡和作圖的單元考核（全校10個班級的統一數學考核）中，竟包括有25個問題——學生平均每2分10秒就得解決一個問題。教師給學生的建議是：‘你們應當熟悉所有的作圖題，這樣就不必花費很多時間去進行思考了。

“總的來說，學生在整個12年的數學學習過程中做了成千上萬道的‘問題——事實上，對于每道題都期望學生能在幾分鐘內得到完成。在這種布置后面的假設是：如果你理解了題材，就可以做出這些練習；而如果未能在合理的時間內做完練習，就說明你沒有理解，從而就需要幫助。

“無論教師是否打算把這一假設傳遞給學生，學生都形成了這樣的看法。”（詳可見A. Schoenfeld，“When good teaching leads to bad results：The disasters of ‘well taughtmathematics classes”，《Educational Psychologist》，23[1988]，第159～160頁）

由此可見，我們確實應對上述問題予以足夠的重視，從而才能切實防止由于不適當的教學方法、教學內容與考核方式對學生的成長造成嚴重的消極影響。

最后，筆者再次強調這樣一個建議：希望廣大一線教師能結合自己的教學對于上述論題做出進一步的分析總結，既包括“什么樣的數學教學要不得”，也包括“我們究竟應當如何去進行數學數學”。

（南京大學哲學系 210093）