基于 ARIMA模型的中國人口自然增長率預測

◇李 頻 胡明形

基于 ARIMA模型的中國人口自然增長率預測

◇李 頻 胡明形

影響我國經濟社會發展的關鍵因素之一是人口問題。21世紀以來，我國人口增長率一直處于較低的水平，人口增長趨勢發生了較大變化。且近年來，我國的人口發展出現了如人口老齡化等新特點，人口發展面臨著前所未有的復雜局面。由此，準確判斷我國未來人口發展趨勢具有重要的戰略意義。本文利用我國1949～2013年的人口自然增長率數據，建立ARIMA（2，1，0)模型，并利用已知的2014年人口自然增長率數據進行預測檢驗，發現效果較好，故進一步給出2015～2018年的人口自然增長率預測數據，得出我國人口自然增長率將穩定在4.8%～5%之間，短期之內不會有太大波動。

人口自然增長率；ARIMA模型；預測；時間序列

一、引言

我國作為世界上人口最多的發展中國家，人口眾多、資源相對不足、環境承載力較弱是我國現階段的基本國情，短時間內難以改變（景倩，2008）。人口問題一直是制約我國發展的關鍵因素之一（朱艷偉，張永利，2010）。改革開放以來，人口發展態勢受到國家控制人口增長政策的影響，人口增長趨勢發生了巨大變化。20世紀90年代初開始，我國迅速增長的人口數量已經過渡到了一個低生育水平的時期，低生育水平在21世紀之后表現得尤為突出。在這一低生育水平的時期，人口增長放緩（王光召，安和平，2014）。近年來，我國的人口發展出現了一些新的特點，例如老齡化進程加速、鄉村人口城鎮化等因素。目前我國正處于全面建設小康社會的快速轉型期，人口發展面臨著前所未有的復雜局面，人口安全面臨的風險依然存在（馮守平，2008）。由此，準確判斷我國未來一段時間的人口發展趨勢具有極其重要的戰略意義（王玉春，2008）。

對我國未來人口增長進行預測的文獻和方法有很多，如帶擾動的人口增長模型、多項式擬合法、Leslie矩陣迭代、Logistic阻滯增長模型等，不一而足。

在運用時間序列方法對我國人口增長進行分析預測的文獻中，熊建平等（2005）利用高階線性AR方程對人口進行預測，但所用數據僅限于遼寧省。此外，利用時間序列的ARIMA模型對預測我國人口增長率的文獻還不是很多。由此，本文根據我國人口增長率的歷史數據，建立ARIMA（p，d，q）模型，在此基礎上對我國人口增長做出預測和分析。

二、ARIMA模型的基本理論

一般情況，一個變量會受到其過去及過去到現在的各種因素的影響。由此建立的模型如下所示：

其中，xt為零均值平穩時間序列，p和q分別為該模型的自回歸階數和移動平均階數；p和q之和為不為零的未知參數；εt為獨立的誤差項。假如該模型的特征根都在單位圓外，我們稱之為ARMA（p，q）模型，但其不足在于僅僅能夠應用在平穩序列，而一般常見的時間序列都是非平穩，因此必須通過差分，把其轉換成平穩序列，這樣才能應用ARMA模型，故筆者引入ARIMA模型。ARMA模型是特殊的ARIMA模型，即為差分階數為0的ARIMA模型。

ARIMA模型包含自回歸階數（p）、差分階數（d）和移動平均階數（q）這三個參數，因此又被稱為帶差分的自回歸移動平均模型。模型的一般形式為ARIMA（p，d，q）。對于非平穩的時間序列模型，在建模過程中，我們需要將其差分d次，將其轉化為平穩序列，再用ARMA（p，q）進行擬合。此時，我們將原時間序列所擬合的模型稱為ARIMA（p，d，q）模型（王燕，2012）。

三、我國人口自然增長率的實證分析

1.模型的建立

本文所利用的數據選自中國國家統計局（http://data.stats. gov.cn/），指標為人口自然增長率。樣本區間為1949年到2013年，共65個數據，由此觀察序列R的自相關圖和偏自相關圖，如附圖所示。

附圖 1949～2013年我國人口自然增長率序列自相關和偏自相關圖“r”的趨勢和相關分析

從附圖中的自相關圖可以看出，其自相關系數衰減到0的速度非常緩慢，所以斷定該序列不平穩。

為使序列平穩，本文對序列進行差分處理，消除序列的趨勢性。通過作R的一階差分序列圖發現，對原始數據進行一階差分以后基本消除了長期趨勢的影響，序列平穩化，同時運用ADF檢驗對上述經過一階差分后的數據進行平穩性檢驗，檢驗結果見表1。

表1 我國人口自然增長率一階差分序列單位根檢驗結果表

從檢驗結果可以看出，三種類型的單位根檢驗對應的p值均非常接近0，小于1%的顯著性水平，因此拒絕“序列存在一個單位根”的原假設，說明此時序列是平穩序列。在序列平穩的基礎上，觀察其白噪聲檢驗結果，如表2所示。

表2 我國人口自然增長率一階差分序列白噪聲檢驗結果表

其卡方統計量對應的p值均顯著小于規定的顯著性水平0.05，拒絕“一階差分平穩序列是白噪聲”的原假設，說明一階差分處理后的平穩序列仍有可以提取的信息，可以進一步識別擬合模型。通過以上一系列的預處理，筆者嘗試建立ARIMA（p，1，q）模型。

由上可知ARIMA（p，1，q）模型通過了平穩性檢驗，因此該序列的差分階數d為1，進一步推斷p和q。p和q可以通過樣本的自相關系數和偏自相關系數的觀察得到。假若偏自相關系數呈現出p階截尾而自相關系數呈現出拖尾的特征，可采用AR（p）模型；假若自相關系數表現出q階截尾，而偏自相關系數拖尾，則采用MA（q）模型；但是，若自相關函數和偏自相關函數均表現出拖尾的特征，則采用ARIMA（p，1，q）模型。筆者發現，其偏自相關系數呈現出顯著的二階截尾的特征，而其自相關系數呈現出拖尾的特征，由此初步確定該差分序列為AR（2）模型。

在經驗識別的基礎上，利用SAS軟件嘗試對模型進行擬合。

如果模型中的每一項系數都通過t檢驗，則就選該模型作為最后的模型來建模；不然，就將模型里未通過t檢驗的各項剔除再來建模，直到最終模型里的每一項系數都通過t檢驗。AIC準則是一種適用面非常廣泛的統計模型選擇準則，簡稱最小信息準則。BIC準則或SBC準則是對AIC準則的修正，將未知參數個數的懲罰參數由2變成了樣本容量的對數函數。王燕（2012）建立的每一個模型都會給出一個AIC參數和BIC參數，選擇每一項系數都通過t檢驗且AIC參數和BIC參數最小的模型作為原序列預測的相對最優模型。

運行SAS中的MINIC程序，得到p從0到5和q從0到5共計36個模型的BIC參數，詳見表3。

表3 不同擬合模型的最小信息原則（BIC）參數結果匯總表

根據BIC最小信息準則，AR（5）模型最優，因此，擬合AR（5）模型，檢驗其每一項的系數能否通過t檢驗。

查看SAS程序運行結果可知，AR（5）模型的AIC參數為347.869，SBC參數為360.8223，而常數項和部分系數沒有通過t檢驗，見表4。

表4 AR（5）模型參數檢驗結果表

去掉常數項，再次擬合模型。去掉常數項的AR（5）模型，其AIC參數為346.1266，SBC參數為356.921，前兩項系數通過了t檢驗，而后三位系數沒有通過t檢驗，同樣去掉后三項，嘗試擬合沒有常數項的AR（2）模型。去掉常數項的AR（2）模型，其AIC參數為343.5249，SBC參數為347.8427，在三個模型中兩個參數均為最小，且兩個系數都通過了t檢驗，見表5。

表5 無常數項AR（2）模型參數檢驗結果表

結合上文經驗識別的模型和模型擬合結果，筆者可以判斷最優預測模型為ARIMA（2，1，0）。

因此本文選用的人口增長預測模型為ARIMA（2，1，0），由上文可知，其系數均已通過t檢驗。根據SAS給出的估計結果，較優的模型ARIMA最終表達式為：

2.模型的診斷與檢驗

當模型的未知參數被估計出之后，還應進一步對其殘差序列進行白噪聲檢驗。

殘差序列的檢驗結果見表6。

表6 殘差的白噪聲檢驗結果表

從表6殘差的自相關檢查可以看出，從滯后6階到滯后24階，殘差卡方檢驗對應的 p值分別為0.2621，0.3309，0.6992，0.9065，均顯著大于0.05，可以判斷該殘差序列為白噪聲，故所建立的模型ARIMA（2，1，0）對原序列的信息提取充分，檢驗通過。

3.模型的應用

對ARIMA（2，1，0）進行預測效果檢驗。利用SAS的Forecast程序預測2014年的人口自然增長率，求得P2014=4.83%，而2014年的實際人口自然增長率為5.21%，誤差為（5.21%-4.83%）/5.21%=7.29%，不超過10%，可認為預測效果較好，可以用該模型對未來幾年的人口自然增長率進行預測。預測結果如表7所示。

表7 我國人口自然增長率預測結果匯總表

即預測的2015年的人口自然增長率為4.80%，2016年4.83%，2017年4.86%，2018年4.86%。

從以上預測的數據可以看出，我國的人口自然增長率將穩定在4.8%～5%之間，短期之內不會有太大波動。

需要強調的是，由于影響我國人口自然增長率的因素很多，包括政策和各種宏觀經濟因素，而ARIMA模型僅僅依據人口自然增長率自身時間序列進行預測，因此所假設的模型是考慮到其他影響因素變化不大的前提下進行的短期預測，但是其較長時期預測能力則會隨著其他因素，尤其是政策因素和宏觀經濟因素的變化而下降。這也是ARIMA模型通常只能用來做短期預測的原因。

四、結論

本文利用時間序列相關理論，對1949～2013年我國人口自然增長率建立了AR（2，1，0）模型，通過檢驗證明該模型能在一定程度上判斷我國未來人口的發展趨勢，并對我國2015～2018年的人口自然增長率進行了預測。

通過預測的數據，筆者判斷未來2年我國人口自然增長率將穩定在4.8%左右，不會有太大的波動。但由于影響人口自然增長率的因素還有很多，包括政策因素和宏觀經濟因素等等。本文建立的ARIMA模型僅討論我國人口自然增長率自身的時間序列變化來探究其在未來一段時間內的發展趨勢。且當政策因素和宏觀經濟因素發生變化時，ARIMA模型的預測功能會大大下降。如我國于2015年10月開始推出全面二孩政策，生育政策的改變勢必在一定程度上影響人口自然增長率。此時，本文所建立ARIMA模型所預測的人口自然增長率的準確程度會受到一定的影響。

盡管如此，后續的研究可以通過實行二孩政策之后的人口自然增長率與本模型預測出的人口自然增長率進行對比，探究二孩政策對我國人口自然增長率的影響。因此，本文所建立的對人口自然增長率進行預測的ARIMA模型仍具有較強的實際意義，且還有一定的研究空間。

[1]馮守平.中國人口增長預測模型[J].安徽科技學院學報，2008 (06).

[2]景倩.中國人口增長趨勢預測模型[J].今日南國(理論創新版)，2008(03).

[3]王光召，安和平.低生育背景下中國人口慣性與人口增長峰值預測[J].寧夏大學學報(人文社會科學版)，2014(03).

[4]王燕.應用時間序列分析[M].中國人民大學出版社,2012.

[5]王玉春.中國人口增長預測[J].甘肅聯合大學學報(自然科學版)，2008(05).

[6]熊建平，吳建華，萬國金.AR模型在人口增長預測中的應用[J].計算機與現代化，2005(10).

[7]朱艷偉，張永利.中國人口增長預測模型及其改進[J].統計與決策，2010(16).

（作者單位：北京林業大學經濟管理學院）

10.13999/j.cnki.scyj.2017.05.011