浙江省杭州市清泰實驗學校(310016) 張娟萍

初中數學課堂環節中促進學生高階思維的策略
——以《矩形》為例

浙江省杭州市清泰實驗學校(310016) 張娟萍

按布魯姆的認知目標分類(看作思維目標),將教學目標依據認知復雜程度由低到高分成:識記、理解、應用、分析、評價、創造這六個層次,其中后三層,分析、評價和創造,被稱為“高階思維能力”.[1]當代教育注重解決問題的能力、批判性思考、創造力,就是分析問題(第四層),然后綜合個人知識創出解決方案(第五層),繼而評鑒及改善方案(第六層),[2]旨在追求教學過程中培養學生高階思維的能力.

數學課堂是培養學生高階思維能力的主陣地.抓住課堂的“引入;概念、定義、規律形成;例題學習;鞏固練習和課堂小結”等環節,設計高層次的思維任務,引發學生開展高階思維.以下通過兩則《矩形》課堂實例,談談課堂環節促進學生高階思維的一點看法.

一、案例實錄:《矩形》的課堂環節

1.情境引入

(1)展示生活中實際應用平行四邊形的圖片(推拉門,活動衣架,籬笆、井架等),請同學們思考:這里用了平行四邊形的什么性質?

(2)一個活動的平行四邊形教具,輕輕拉動一個點,觀察不管怎么拉,它還是一個平行四邊形嗎?為什么?(動畫演示拉動過程如圖1)

圖1

(3)再次演示平行四邊形的移動過程,當移動到一個角是直角時停止,讓學生觀察這是什么圖形?(長方形)

師:同學們能根據這個圖2得出哪些結論?

生: 對邊平行且相等,對角相等,鄰角互補,對角線互相平分,四個角是直角,對角線相等,有四個等腰三角形,有四個直角三角形,是中心對稱圖形,是軸對稱圖形.

圖2

教師板書學生所說的所有結論(有意識分區域板書在黑板上)

教師及時鼓勵和點評學生出彩的地方.還沒有學,你們怎么想到有這么多的結論啊?

生:可以用以前學三角形的一些方法.

師:對,用已經學過的知識和方法來分析和研究新的內容,這個能力非常棒!我們來歸類,剛才分別得到了哪些方面的結論?

生:(根據板書)分別得到了關于:邊、角、對角線、位置關系、特殊圖形等方面的結論.

師: 同學們得出的結論是否正確,需要驗證.同學們如何得出對邊相等?

生: 因為它是平行四邊形.長方形首先是個平行四邊形.

師: 它與平行四邊形不同的地方在哪里呢?引出今天要研究的課題《矩形》.

師:請同學們給矩形下定義嗎.

2.定義、規律探究

【操作】在一個平行四邊形活動框架上(圖3),用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上(作對角線),拉動一對不相鄰的頂點,改變平行四邊形的形狀.

圖3

同學操作,思考、交流、歸納后得到矩形的性質.

師:請同學來說“矩形的定義和性質”,并說明為什么.

學生用自己的語言表達“矩形”的概念.在組內交流,互相糾正.由學生反饋得到的概念:有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

師: 可以得到哪些結論?猜想并驗證你所得到的性質.在組內交流,達成共識后,向大家展示思考過程.

生:因為矩形是特殊的平行四邊形,所以平行四邊形的性質它全部具備.再考慮它特殊的地方,角的方面:有一個直角,所以可能所有的角都是直角,可以證明的:因為平行四邊形,對邊平行,所以鄰角互補.

學生板書.

生:關于對角線,肯定是考慮數量關系.由△ABC與△DCB全等,可以得到“線段相等”

生:可以得到很多等腰三角形.

師:怎樣用自己的文字語言來描述這些性質?

由學生自己歸納得出了性質定理.同學互相糾正.老師板書性質.

3.例題應用

師:有了這些性質后,怎么用來解決一些問題呢?

例1(教材P104例1)已知:如圖4,矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,∠AOB=60?,AB= 4cm,(1)求矩形對角線的長.

師: 先獨立思考,然后請同學說:想到了什么辦法?是怎么想到的?說說思考過程中的經歷.

圖4

生: (1)主要思考過程:求對角線的長度,涉及到邊長,根據前面的性質,得到四個等腰三角形,聯想到60?,所以估計是正三角形了.得到正三角形,三條邊都相等.對角線跟OA有關系,由平行四邊形對角線性質就可以得到.

生: 可有多種方法:法一:AC=2BO=2;法二:AC= 2CO=2;法三:∵∠BAC= 60?,∴∠ACB=30?,∴AC= 2AB=2.

生: 由條件朝結論方向思考,同時結論的特征指導思考的方向.學生板書解題過程.

圖5

師跟進題目條件:(2)如果作∠BAD的平分線,交BC于點F,連結OF.是否產生新的特殊三角形?(3)延長AF,過點C作CE⊥BD交AF的延長線于點H.同學們還能再找到新的特殊三角形.(4)DE和BE有什么關系?如圖5.

學生獨立思考后組內交流,反饋如下:

(2)生:根據矩形的性質,對角線相等且平分,四個角都是90?.導致有很多等腰三角形.可以得到△ABF是等腰三角形.

(3)生:可以得到△ACH是等腰三角形.從圖中看,剩下的三角形△ACH是很像等腰三角形,而且也容易找到那兩條應該是腰.但是發現直接找兩邊相等很難,所以設法找底角相等.

(4)學生小組思考路徑整理:考慮DE和BE的數量關系.根據圖形直觀,可以猜測BE=3ED.這個問題中“起始條件”:在矩形ABCD中,若∠AOD=120?,AB=1,AF平分∠BAD,CE⊥BD;“目標結論”:BE=3ED.先從目標結論出發,思考較短線段ED,因為CE⊥BD,會考慮三線合一,由于希望求得E是中點,所以,思考“三線合一”的時候,要找到角平分線,根據上一題∴△ACH是底角為15?等腰三角形,可以得到∠OCE=30?,從而可以得到EC平分∠ACD.得到OD=2ED,ED與BE產生關聯.從而使得目標與條件聯通.

學生展示作業,教師對下面學生的反饋(老師在學生作業時巡視)——尤其是錯誤信息的反饋.

師: 你們能說說:你們一般從哪些方面去思考這些可能的結論?小組歸納反饋:一般考慮,邊、角、對角線、位置關系、特殊圖形等方面的性質.

4.任務延伸

師:應用這些性質繼續解決題目.

已知:如圖6,過矩形ABCD的頂點C作CE//BD,交AB的延長線于E,延長EC、AD相交于點H,你能得到哪些結論?若矩形的頂點C在HE上移動,你能設計什么樣的問題?組內同學設計條件編制問題,并解決問題.(小組合作,一周后反饋)

5.總結反思

本例,“通過本課的學習,你得到了那些收獲?課中什么讓你得到啟發和感悟?組內互相說一說,并對本堂課中的自己和同學(觀點、行為、方式)做出評價和反思.”

圖6

二、案例分析:在課堂環節中發展學生高階思維能力

1.課堂導入時啟動思維

富有啟發性的導入可以激發學生的思維興趣,設計情境,引起學生的認知沖突,刺激他們進入積極思維狀態.

案例中,從縱向角度設計:以生活經驗中關于平行四邊形和矩形的實際應用引入,能激起學生已有生活經驗的興奮,同時有利于學生體驗概念的實用價值和應用意識.動手操作,有利于學生比較直觀地感受邊、角的變化及其關系,方便學生探索結論;從橫向角度設計:類比之前研究平行四邊形的相關元素以及小學學過長方形的相關內容,使學生通過運用自己已有知識和經驗遷移到新的知識及其研究方法,是基于“先行組織”的學習、研究方式遷移,屬于方法層面.這也是第3環節老師問“你們一般從哪些方面去思考這些可能的結論?”時學生能順利梳理的原因,學生從方法上得到遷移.

另外,案例的問題是開放式的“你能得出那些結論”,由學生“猜想、假設”得出盡可能多的結論——教師“歸類”板書學生所說的所有結論,內容、概念的得出全部是由學生自己探索得來.

2.概念、定義、公式、規律發現和形成過程推進思維

教師要給學生平臺,讓學生去體驗和經歷“發現過程”,用自己的方法“發現、猜想、證明”得到概念或規律,并用自己語言歸納得到它的表述.

案例中,學生在操作中經歷觀察和概括,涉及到多個層次的思維能力.通過學生漫天漫地的說“結論”,然后發現“它們”有一定的規律,于是進行提煉,這是學習的非常重要的能力——概括,用他們自己的語言表達出來,然后去偽存真,逐步完善,最后提煉成書面語言,這樣的概念得出,是學生自己內化得出來的,有利于他們思維的整合,同時對概念具有親切感.概括內容、提煉學習方法,是高層次思維,而且在自覺應用的情況下有意識地“從幾個方面”來概括性質:

定義表示元 素:邊角對角線性質:從邊的角度而言:位置、數量關系;從角的角度而言:相等;90?;互補;三線:數量、位置關系;從面積、周_______ ______ _________ __________________________________ _____________________ ____________________________ ____________________長等.圖形關系:全等、相似軸對稱、中心對稱特殊圖形:矩形性質:邊;角;對角線;判定:邊;角;對角線;數量和位置關系

經過自己探索而得到的概念,學生會有親切感;自己思維得到成果,這種成就感是對他思維的獎勵,促進他更愛思維.因此,給學生創造機會經歷概念的形成與發展過程,進一步推進學生思維縱向深入,促進高階層次思維的發展.

3.例題路徑挖掘浸入高階思維

例題教學最重要的是學生尋找思維路徑及其思維發現的展示過程,暴露思維的過程,是他解決問題方法、策略的顯性化過程:這個例題要解決什么問題?(學生理清題中所給的顯性和隱性信息,然后分析化歸為數學問題),用到什么知識、概念、規律?是怎么想到的?這么想的理由是什么?在什么地方碰到了困難,是怎么解決的?等等.這個過程有利于學生梳理解題的整個思維過程,使學生把注意力從指向問題本身轉向思維加工過程.

案例中,①先讓學生獨立思考,使學生獲得原始的思維和體驗.②學生自主思考,同時自發產生討論,對于不同的思維和方法的鼓勵,大大激發學生創造性思維.③例題由變式和條件跟進,層層推進思維,得到圖形中所涉及到的幾乎所有基本圖形的特征.問題以開放題的形式呈現,由猜想到驗證,到(4)小題,題目已經達到非常綜合的高度,學生像科學家探究規律一樣探究性學習,由起始條件到目標結論是一個思維的不斷轉化、反復調整的過程,目標起著定向作用,它始終引導思維朝一個方向推進.④例題后還要求學生提煉解題的一般方法,并思考:是否達到預期目的?用什么辦法隨時調控自己的思考過程和方向?還有別的做法嗎?條件可替嗎?問題可逆?有什么新的問題?您能否改編問題情境或者問題條件、結論做變式變換等等,激發學生思維的進一步升華.

4.課外作業延伸高階思維

案例問題的延伸,實際是任務驅動的探究式學習內容,通過它可以讓學生經歷完整探究過程:設計行動方案(猜想假設),然后實踐并驗證.分析論證、檢查評估、結論決策.小組合作,互助研討.學生通過自主合作探究的方式應用和實踐習得的方法,創造性地解決問題.

5.課堂小結與反思修正思維

課堂小結,是思維收斂和升華的過程.通過學生歸納總結,使內容和方法系統化、思維一般化,同時也對情感感悟和體驗進行總結.案例中,開放性的任務,使學生小組之間各個層面展開梳理、提煉、評價和反思.

學生反思數學活動中思維習慣、方式、效果,反思和評價自己成功、失誤之處以及師生的見解等.“反思”是指對自身研究問題的思維過程、思維結果和思維方法等進行再認識再評價以及再檢驗的過程.其中,錯誤性反思教學最常用,反饋錯誤資源,通過暴露思維歷經的挫折過程,分析找到錯誤的根源,合理調整思維方向尋找解決的方案,有利于培養學生批判性思維,使思維變得越來越成熟.

三、總結與反思

課堂學習兩條清晰的線索,一是學生思維,二是數學知識內含的思維.這兩條線索體現學生經歷“從一般到特殊”的數學思維和學習體驗:學生從已有知識和方法(小學長方形知識和初一學習三角形的經驗)的遷移,以后還要遷移到其它幾何圖形的研究中去.兩則案例的任務呈現方式、思維互動過程不一樣,對促進學生高階思維的效果完全不一樣.

課堂各個環節的重點是如何讓學生卷入學習過程中去.面對學習任務,學生先獨立探索、體驗,啟動默會知識,形成自己的感受;學生經過思維或挫折后,他需要同伴互助,采用小組合作,互助研討:交流思考過程中碰到困惑或者新鮮的想法,從教師和同學中得到啟發,從而引導自己做出思維重整.抓住課堂“引入;概念、定義形成;例題學習等”環節,設計任務探究,激發學生積極參與高階層次思考:

利用學生個體或小組爭強好勝,尤其是思維上的暗暗較量,教師可以激發學生多層次思維參與:比較,歸納、創造的思維.學生反饋不同的解法和思維過程本身是學生思維的撞擊,教師敏銳地抓取信息及時跟進問題,比如:你能幫他減少一次全等嗎?刺激學生最大程度地調動思維創造性.