探尋初中數學規則課型教學
——以“直角三角形全等的判定”教學為例

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

探尋初中數學規則課型教學
——以“直角三角形全等的判定”教學為例

廣州市二中蘇元實驗學校(510000) 王碧瑩

數學中的定理、公式是揭露和反映數學概念本質屬性及屬性間的聯系的一種重要形式,也是學生思維提升和思維訓練的良好素材.定理、公式課的教學是一個動態的生成過程,如何提高教學效率,是一線老師的追求.

1 緣起

課型即課的類型,是根據一節課(有時是連續的兩節或三節課)承擔的主要任務來劃分的.以初中數學中的法則、公式、公理、定理、數學重要結論等數學規則的教學作為主要教學任務的一類課統稱為初中數學規則課型.[1]

初中數學規則課型教學的主要任務是使學生能說明規則反映的關系,以及能靈活運用規則在其適用的各種不同情景中解決問題,學與教的過程是:習得階段——轉化階段——遷移與應用階段.下面,筆者以《直角三角形全等的判定》[2]為例,探尋初中數學規則課型的教學,以見教于同行.

2 教學片斷簡錄

2.1 習得規則階段

2.1.1 創設情景,激發學習規則的動機

[教學片斷1]

[問題1]學校報告廳舞臺背景的形狀是兩個直角三角形,工作人員想知道兩個直角三角形是否全等,但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住,無法測量.

圖1

師:工作人員知道這兩個直角三角形哪些因素相等嗎?

生:兩個直角相等.

師:如果他有量角器和卷尺,你能幫他想個辦法嗎?根據是什么?

生1:測量對應一邊和一銳角,根據ASA,AAS.

生2:測量其余兩邊與這兩邊的夾角,根據SAS.

(學生方法很多,有量邊的,有量角的,此時教師加以引導)

師:如果他只帶一個卷尺,能完成這個任務嗎?只帶了卷尺,那他用卷尺只能量出邊,能完成任務嗎?

(學生交頭接耳,興趣高漲.)

【設計意圖】直接進入本節課學習的內容,激起學生的興趣,讓學生大膽提出猜想.

2.1.2 實驗操作,習得規則

[教學片斷2]

[問題2]像圖中,如果滿足斜邊和一條直角邊分別相等,這兩個直角三角形全等嗎?

[實驗操作]:

圖2

已知任意Rt△ABC,∠C= 90?,再畫一個Rt△A′B′C′,使∠C′=90?,B′C=BC,A′B′=AB,然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上,你發現了什么?

(學生同桌合作,畫圖,剪圖,教師巡堂,適當幫扶,在學生作圖后,老師結合學生的作圖感悟進一步引導.)

師:(1)作圖的結果反映了什么規律?(2)你能用文字語言和符號語言概括嗎?

生: 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

師: 判定兩個直角三角形全等的方法有哪些?運用定理HL要注意哪些?

生:(1)“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.(2)注意對應相等.

2.1.3 辨析依據,明確規則適用的條件

[問題3]把下列說明Rt△ABC～=Rt△DEF的條件或根據補充完整.

圖3

圖4

(1)____,∠A=∠D(ASA)

(2)AC=DF,___(SAS)

(3)AB=DE,BC=EF( )

(4)AC=DF,___(HL)

(5)∠A=∠D,BC=EF( )

(6)____,AC=DF(AAS)

(學生思考、交流,代表回答,老師同步PPT展示)

【設計意圖】通過作圖、剪圖、比較圖的過程讓學生獲得“斜邊、直角邊”的判定方法,培養學生發現問題的能力,鍛煉學生運用數學語言的能力.通過小結和辨析,培養學生分類討論的思想、反思的習慣、理性的思維.

2.2 轉化規則階段

[教學片斷3]

2.2.1 樣例學習,明確規則流程

圖5

圖6

例題1:如圖5,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分別為C,D,AC=BD.求證:BC=AD.

2.2.2 變式練習,熟悉規則

變式:若圖中AC,BD相交于點E,圖中還有全等三角形嗎?怎樣證明?

2.2.3 實際場景,習得技能

例題2:如圖6,有兩個長度相同的滑梯,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么關系?

(學生思考,老師引導,提煉模型,分析思路,明確規則適用的情景和程序,滲透轉化和化歸的數學思想方法.)

2.3 遷移和應用規則階段

[教學片斷4]

2.3.1 學以致用,應用規則

1.使兩個直角三角形全等的條件是 ( )

A.一個銳角對應相等 B.兩個銳角對應相等

C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等

2.如圖7,O是∠BAC內一點,點O到BA,AC距離相等,即OE=OF,則AE=AF的依據是( )

A.SSS B.AAS C.HL D.SAS

圖7

圖8

3.如圖8,DB⊥AB于點B,DC⊥AC于點C,且BD=CD.求證:AD平分∠BAC.

2.3.2 拓展延伸,遷移規則

圖9

4.已知:如圖9,在△ABC和△A′B′C′中,AD、A′D′分別是高,并且AC=A′C′,AD=A′D′,∠CAB=∠C′A′B′.求證:△ABC～=△A′B′C′.

變式1:若把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為AB=A′B′,△ABC與△A′B′C′全等嗎?請說明思路.

變式2:若把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為BC=B′C′,△ABC與△A′B′C′全等嗎?請說明思路.

變式3:請你把題中的∠ACB=∠A′C′B′改為另一個適當條件,使△ABC與△A′B′C′仍能全等.試說明證明思路.

2.3.3 小結反思,內化規則

以問題帶動總結,幫助學生整理思路,引導學生回放錯題,從錯因分析中積累運用規則的經驗和細節.

3 教學反思

3.1 以問題為導線,明確規則

問題是數學的心臟,也是教學的起點,在本節課的教學中,教師以問題為導線,步步為營,揭示規則的本質、明確規則運用的情景、學會用規則去解決問題,促進了學生思維的發展,能力的提升.在片斷1中,我精心設置情景,通過測量工具的作用和變更,一問問進行,既帶動著學生回顧了直角三角形的判定方法,又引出課題.在片斷2規則的習得過程中,老師設計問題:＂作圖的結果反映了什么規律?你能用自己的語言描述嗎?你能用文字語言概括嗎?你能用符號語言表述嗎?＂在環環相扣的問題中,帶著學生的思維一步步從具體到抽象,從理解到規范的文字表述,在表述中理解新的規則.在直角三角形全等的辨析中,引領學生在新知識內部和新舊知識之間進行加工,自我建構知識.

3.2 構建模型提煉策略,推進數學思考

《義務教育數學課程標準》(2011版)[2]指出:“在數學課程中,應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想”.平面幾何是初中數學課程的重要組成部分,是培養學生空間想象能力、邏輯思維能力、創造能力、分析和解決問題能力的源本.但是,八年級學生由于年齡和認識所限,邏輯推理、圖形分析方面較弱.因此,建構模型、提煉策略有利于學生的數學思考、幾何規則的習得.在本節課中,在片斷1情景的引入中,我引導學生提煉舞臺背景:兩個直角三角形,問題的本質轉化為探索兩個直角三角形全等.在片斷3例題2的學習中,老師通過PPT工具,從實際情景抽煉出模型:兩個直角三角形,把實際問題轉化為數學問題解決,“建模、化歸”的數學思想方法在問題解決中自然滲透,讓學生獲得學習自主的成長與發展.習得規則之后,如何運用規則解決問題呢?教師要適時引導,明確規則流程,提煉思維策略,例如在片斷3例題的學習中,為了更好地讓學生明確規則流程,整理思維,教師采用分析法的手段:

例1:求:BC=AD←△ABC～=△BAD←知:AC=BD,AC⊥BC,BD⊥AD,AB公共邊,并追問:全等依據是什么?

例2:求∠ABC=∠DEF←△ABC～=△DEF←知:BC=EF,AC=DF,∠A,∠D是直角.并追問:全等依據是什么?

引導學生經歷由果索因的問題解決的過程,滲透轉化與化歸的思想方法.再引導學生整理解題的步驟,體會綜合法的表述:

例1的步驟為:①由AC⊥BC,BD⊥AD得△ABC和△BAD都是直角三角形;②運用HL證明△ABC～=△BAD;③BC=AD.

例2的步驟為:①由∠A,∠D是直角得△ABC和△DEF都是直角三角形;②運用HL證明△ABC ～=△DEF;③∠ABC=∠DEF.

初中數學規則課的目的是為了運用規則去解決有關“怎么辦”的問題,因此,在教學中我們不僅在教規則,更要在問題解決過程中,建模型、煉思維、提策略、滲透意識與方法,推進學生思考,幫助學生熟悉運用規則辦事的程序與步驟,將規則轉化為辦事的技能.

3.3 慢化過程,領悟規則的運用

初中數學性質、法則等規則都具有高度的概括性,對于初中學生而言比較抽象,不易理解,容易混淆.如何運用學到的抽象規則、靈活運用規則在其適用的各種不同情景中解決問題,這就要求老師在教學時要準確把握學生的認知水平,慢化過程,引導學生領悟規則的運用,促進其對規則本質的理解.在本節課中,第一個慢化處是“實驗操作”的畫圖,有些學生畫了BC,畫了AB,但發現沒辦法完成三角形,有些學生畫了直角C,畫了BC,但畫不出AB,此時,教師放慢過程,引導學生分析錯因,優化畫圖,這一處的慢化有利于學生作圖能力的培養.第二處慢化在兩個直角三角形全等的辨析,教師借助PPT,將圖和題同步展示,標圖,讓學生在辨析中體會新舊規則的不同,防止學生知識的負遷移,利于學生自主建構知識網絡.第三處慢化是例題的示范,旨在學生經歷解決問題的過程,理解規則運用的程序,領悟規則適用的情景.規則的運用在于悟,教師應在學生當前的認知結構中尋找最近的“生長點”,在關鍵處慢化規則的學習,有利于學生領悟規則的本質和運用.

課堂教學的創新永遠在路上,課堂教學的研究推動著課型研究的發展.初中數學規則課型教學的探究、規則課的有效教學是每一個教師不斷追求的目標,它是教學過程的最優化,教育效果的最大化.