廣州市鐵一中學(510600) 言彥

新課標下初中數學思想方法的滲透
——基于函數與方程“融合”的探究

廣州市鐵一中學(510600) 言彥

目前,在初中數學學習中,很多學生遇到綜合性題目就覺得困難重重,聽老師的講解覺得容易理解,換個情境時又覺得無從下筆,數學素養不能得到較大的提高,究其原因,筆者認為是數學思想方法在教學中滲透不足所造成.數學基本思想方法正如新課程標準(2011年版)指出的那樣”是需要學生經歷較長的認識過程,逐步理解和掌握的”,教師應當在進行數學知識教學的同時,有意識地滲透數學思想方法.而很多教師只是在進行課堂小結時,才提到用過的數學思想方法的名稱,并沒有在整個學習過程中進行滲透,導致學生頭腦中的數學思想方法不夠具體,對數學思想方法的理解不夠透徹,難以在后續的學習中靈活運用.筆者針對這一問題進行研究,通過將函數與方程內容進行“融合”,并在“融合”的教學過程中不斷滲透各種思想方法,最后達到提高學生綜合素質與能力的目的.

一、在“融合”中滲透數學思想方法的原理

1.函數知識與方程知識聯系密切是“融合”的基礎

函數是中學數學的”基石”,函數與方程的知識內容貫穿于初中數學大部分教學內容,幾乎滲透到初中數學的各個領域.雖然函數和方程是兩個不同的概念,但是這兩種數學知識卻有著密切的聯系,如:一次函數可以看成是一個二元一次方程、一元二次方程根的個數就是二次函數的圖象與x軸交點的個數等等,這種緊密的關系,為函數知識與方程知識在初中數學中的相互轉化提供了條件,為兩者的“融合”提供了基礎.

2.函數與方程思想和其他思想方法聯系密切是滲透的條件

函數與方程的理論內容蘊含著諸多數學思想方法.在函數與方程的學習過程中自然能夠滲透函數思想和方程思想;函數與方程思想蘊含了函數、方程、不等式間的相互轉化,在此基礎上通過比較和抽象,形成數學化歸思想.利用函數可以表示數學問題中的數量關系和變化規律,使問題得以解決,這個過程與模型思想密切聯系;而利用平面直角坐標系,函數可以將代數與幾何問題有機結合,無論是利用幾何直觀分析函數問題或利用函數思想解決幾何問題,都體現了數形結合思想和化歸思想.所以函數與方程思想和其他思想方法聯系密切,為滲透數學思想方法的教學提供了有利的條件.

3.“融合”是滲透的手段

張景中院士用面積法“一線串通”幾何內容的教學方式獲得了成功,函數是中學數學的“基石”,函數與方程的知識內容也貫穿于初中數學大部分教學內容,幾乎滲透到初中數學的各個領域,這為函數與方程的“融合”提供了基礎.

錢佩玲教授指出:“數學思想方法是隱形的本質的知識內容,因此在教學中教師必須深入鉆研教材,充分挖掘教材中有關的思想方法”.所以在教學過程中將函數與方程模塊“融合”,不僅是按新課標的要求“用好教材”,更是將“無形的”數學思想方法更自然地滲透在“有形的”數學知識內容中.

二、在“融合”中滲透數學思想方法的方法

新課程標準提到:數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中,所以數學基礎知識與思想方法是密不可分的,教學的過程中應當緊密結合這兩條線,通過函數與方程“融合”的方法,在“融合”的過程中精心設計數學活動,在知識的形成過程中有意突出數學思想方法的核心問題,在知識的應用過程中將對思想方法的思維示范與引導學生體驗、感悟數學思想方法相結合,在知識應用后總結認知操作程序,是滲透數學思想方法的有效策略.

1.在“融合”中滲透轉化思想

轉化思想的內涵就是將未知的難題轉化成已學的問題,將抽象的表述轉化為具體的描述.函數與方程聯系密切,在學習方程知識時,可以融合函數知識,從而滲透轉化思想.又因為在概念、公式形成過程中實施局部探究,是滲透數學思想方法的基本方法,所以在學習方程的概念時,通過設計適當的問題情境融合函數知識,對滲透轉化思想尤其有效.例如學習方程的概念時利用函數引入:

問題:

(1)一臺計算機已使用1700h,預計每月再使用150h,請寫出經過t月這臺計算機的總使用時間y與月數t的函數關系式?當使用時間2450h時,你能得到什么等式?

(2)長方形的面積為1,設長為x,寬為y,則y與x的關系如何?當y=0.5時,你能得到什么等式?

(3)一個正方形的邊長為x,面積為y,則y與x有什么關系?當y=0時,你能得到什么等式?觀察上面的等式,它們有什么共同特征?這些都是含有未知數的等式——方程(equation).

思考:函數與方程有什么關系?

當函數取定一個值時,函數解析式轉變為一個方程.

設正方形的邊長為(x?1)cm,周長為ycm,則y與x有什么關系?是什么函數?當y=10時,你能得到什么樣的等式?當y=24,y=30,又如何呢?

這些等式有什么共同點?你能給他們起個名字嗎?

在學習二元一次方程的概念時,可以再次引導學生觀察二元一次方程和一次函數解析式,引導學生發現一次函數也可以看成二元一次方程.同樣在學習分式方程和一元二次方程時,都可以引導學生發現函數與方程之間的轉化思想.

這樣在方程知識的形成過程中反復“融合”,學生能夠對轉化思想進行模仿應用和體會,轉化思想的滲透效率就更高了.

2.在“融合”中滲透數形結合思想

我們在學習函數時,常常通過二元一次方程組求兩條直線的交點等方式滲透以數解形的方法,利用函數圖象求解函數的解析式滲透以形解數的方法,但在學習方程的時候對數形結合思想的滲透很少,而方程和函數思想與數形結合思想都有密切聯系,所以在講解方程的問題時可以將函數的問題也融入其中,有意突出滲透數形結合思想,不僅能使學生在知識的應用過程中充分感悟數形結合思想,體驗以形解數、以數解形的方法帶來的優越性,還能讓學生通過探究問題的多角度性進一步理解數形結合思想.

將方程和不等式的教學內容與函數“融合”,能讓數形結合思想方法更多地建立在數學實踐活動的基礎上,從而能讓學生在體驗的基礎上進行數形結合思想方法提煉的關鍵認知操作.

3.在“融合”中滲透模型思想

模型思想的滲透必須包括具體的數學學習內容,而方程和函數思想都是模型思想的下位思想方法,所以方程和函數都蘊含著模型思想,通過“融合”方程與函數中的實際問題,可以使模型思想滲透更為高效更為透徹.

首先要通過“融合”在模型的形成過程中滲透模型思想,即將模型思想的教學融入方程和函數的基本概念教學.方程和函數的“融合”能幫助學生更好地理解掌握其中的重要概念、性質定理的形成過程和抽象過程,挖掘并體會其中蘊含的模型思想,如通過“融合”的方法學習方程概念的形成過程就充分體現了“等號兩邊的兩件事情是等價的”這一數學建模的本質表現(“融合”方法在前面已說明,在此不再贅述).學生在知道有哪些模型,并理解了這些模型后,才能更好的應用模型解決實際問題.

其次要通過“融合”在模型的應用過程中滲透模型思想,即在問題解決過程中主動聯想,在重要概念原理的應用過程中,幫助學生體會運用模型思想的過程.函數模型和方程模型都是把語言表達的問題數量化,抓住問題中的數量關系進行建模,區別在于在運動變化的過程中,函數模型刻畫的是兩個變量的聯系情況,而方程模型刻畫的是兩個變量的瞬間情況,所以在實際問題中“融合”方程和函數模型,使得模型思想的滲透事半功倍.

4.在教學的各個環節進行“融合”

在方程和函數“融合”過程中還能滲透其他的數學思想方法,但無論滲透哪種數學思想方法,都應該在“融合”時將思想方法目標和教學環節切實對應,設計相關數學活動,給學生增加領悟思維程序的渠道.

值得注意的是,數學思想方法的滲透需要大量的樣例,所以不僅要在課堂教學中“融合”,還要在課后練習中“融合”.如在進行二元一次方程與實際問題的教學后,可以設計和函數有關的練習以滲透數形結合思想:甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠,所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)的關系如圖所示,請根據圖象所提供的信息解答下列問題:

圖1

①甲隊在0≤x≤6的時段內,y與x之間的函數關系式;

②乙隊在2≤x≤6的時段內,y與x之間的函數關系式;

③當x為何值時,甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠長度相等?

這樣學生能通過更多的具體實例進行思辨,感悟到數學思想方法的實質,并內化為思維程序,使學生在數學思想支配下的思維能力逐步增強,在各種情景下都能自如運用各種數學思想方法.

三、在“融合”中滲透數學思想方法的反思

1.能幫助學生加深對數學思想方法的理解

初中學生通常對思想方法僅停留于表面,當與新情境相結合時,部分同學會感到吃力,這是因為學生對數學思想方法的理解比較孤立,沒有用相同的思想方法解決不同形式、不同情境問題的經歷,沒有利用聯系的思維來理解數學思想方法,沒有在一個更大的空間中認識數學思想方法,所以在具體問題的解決過程中容易陷入困境.通過將函數與方程“融合”來滲透數學思想方法,不僅能在數學思想方法形成的過程增加理解渠道,還能使學生在“融合”中不斷鞏固對數學思想方法的認識,不斷加深對數學思想方法的理解,使學生能有意識地運用數學思想方法解決問題,從而增強遷移能力.

2.能幫助學生構建數學思想方法網絡

數學思想方法網絡是通過橫向聯系和縱向概括活動來逐步建構的.通過“融合”可以對不同思想方法進行縱向概括,如:從函數概念到二元一次方程概念可以滲透轉化思想等.通過“融合”還可以建立不同思想方法上的橫向聯系.利用方程和函數之間的聯系,可以將多種思想方法進行類比、交叉、融合,如讓學生掌握方程、函數等模型思想方法后,在此基礎上通過比較和抽象,形成數學化歸思想.這樣,將學生頭腦中的化歸思想具體化,有助于產生更深刻的感悟.通過不斷地進行橫向比較和縱向概括,不斷具體化并拓展已有的思想方法,可以幫助學生構建數學思想方法網絡,使得數學思想方法的滲透更具有系統性.

3.能幫助學生提高數學素養

著名教育學家布魯納在《教育過程》中指出:對基本數學思想方法的融會貫通能夠使得知識的遷移更加容易.所以通過方程和函數“融合”的方法幫助學生構建數學思想方法網絡后,不僅能提高學生對數學知識的運用能力和概括能力,還能讓學生在提高成績的同時樹立科學的思維方式,從而形成正確的數學觀,真正提高數學素養.

綜上所述,通過函數與方程“融合”來滲透數學思想方法,提高了數學思想方法滲透的有效性,事半功倍.