一道模考試題的“反芻”*

●岳 峻

(太和中學 安徽阜陽 236600)

一道模考試題的“反芻”*

●岳 峻

(太和中學 安徽阜陽 236600)

數學素養的提升離不開數學解題，文章以一道模考試題為素材，利用模擬試題的“原生性”，認真“反芻”，洞曉其中的奧秘，有意識地研究試題的“題根”，使得思維在形式的變化中得以提升，激活“火熱”的思維．

數學解題；反芻；探究；挖掘；激活思維

數學素養的提升離不開數學解題，解題過程中的很多細節，看似平淡無奇，有時充滿數學智慧，只有沉下心來仔細斟酌，認真“反芻”，方能洞曉其中的奧秘．思之愈深，道之愈簡．

現以2016年廣東省廣州市一模理科數學試題壓軸題為例，探討其“反芻”的潛能．

1 試題再現

題目 已知函數f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2．

1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1，求實數m的值；

2)當m≥1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

本題簡潔明了，問題設置巧妙，第1)小題易得m=0.對于第2)小題的解決，不同思維層次的學生有著截然不同的求解思路，我們會發現本題是命題專家精心設計的具有典型性、選拔性的范例，極具“反芻”的潛能，是數學研究性學習的極佳素材！

2 顯性思維的解法

數學解題是一種認識活動，是對數學問題通性通法的繼續熟練，尋求解題思路的過程便是尋找已知信息與結論之間的邏輯聯系或轉化軌跡的過程．由于待證式f(x)>g(x)-x3等價于ex+m-ln(x+1)-2>0，只需證明函數h(x)=ex+m-ln(x+1)-2的最小值為正數即可．

證法1 設h(x)=ex+m-ln(x+1)-2，則

h′(0)=em-1>0，

又h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0，

即

ln(x0+1)=-x0-m，

當x∈(0,x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+m-ln(x0+1)-2=

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3．

點評 在證法1中，

h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=

em(e-1+e-m-1)<0

3 心智思維的體現

數學解題更是一種心智思維的活動，付出的有效思維與實施的運算、求解、處理等之間是一對平衡體，即有價值的思考越多則實施的基本運算就越輕松；相反，思維價值較少的智力活動自然導致運算的繁雜．當m≥1時，由于ex+m≥ex+1，待證式f(x)>g(x)-x3，等價于ex+m-ln(x+1)-2>0.

證法2 設h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，則

即

ln(x0+1)=-(x0+1).

當x∈(-1,x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0，從而

h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2=

當m≥1時，

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

得證.

點評 在證法2中，通過靈活運用信息“m≥1”，獲得

ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，

4 以形助數的滲透

數學的學習，心中無“形”，永遠不行！由于待證式f(x)>g(x)-x3等價于ex+m-ln(x+1)-2>0，其中的函數y=ex+m是基本初等函數y=ex向左平移m個單位所得，函數y=ln(x+1)是基本初等函數y=lnx向左平移1個單位所得.而函數y=ex與函數y=lnx互為反函數，其圖像關于直線y=x對稱.本題是否可以應用數形結合思想加以解決呢？

圖1

證法3 先證明ex+1-ln(x+1)-2>0．令t=x+1，轉化為證明et-lnt>2(其中t>0)．

因為曲線y=et與曲線y=lnt關于直線y=t對稱，設直線t=t0(其中t0>0)與曲線y=et,y=lnt分別交于點A,B，點A,B到直線y=t的距離分別為d1,d2，則

①若h(t0)=et0-t0(其中t0>0),則

h′(t0)=et0-1>0，

即

h(t0)>h(0)=1，

從而

②若p(t0)=t0-lnt0(其中t0>0)，則

易證p(x0)≥p(1)=1,從而

于是

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

5 深化本質的理解

沒有反思的解題是低效的重復，不能很好地把握問題的本質，思維品質提升的空間也是狹小的，也不利于提升數學素養．每一個耐人尋味的試題總有其背后隱含的“題根”，在本題中，出現了y=ex+m和y=ln(x+1)，自然應該聯想到函數的重要不等式，即ln(x+1)≤x．

證法4 先證明ex+1≥x+2(其中x∈R).設h(x)=ex+1-x-2，則

h′(x)=ex+1-1.

易證當x<-1時，函數h(x)單調遞減，當x>-1時，函數h(x)單調遞增，從而

h(x)≥h(-1)=0,

于是ex+1≥x+2(當且僅當x=1時取到等號).要證明ex+1-ln(x+1)-2>0，只需證明

(x+2)-ln(x+1)-2>0，

即

x>ln(x+1).

下面證明x-ln(x+1)≥0．設p(x)=x-ln(x+1)，則

易證當-10時，函數p(x)單調遞增，從而

p(x)≥p(0)=0,

于是x-ln(x+1)≥0(當且僅當x=0時取到等號).由于取等號的條件不同，因此

ex+1-ln(x+1)-2>0.

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

6 激活思維的呈現

我們對知識的學習往往是“浮光掠影”、淺嘗輒止，其背后是缺乏對數學內涵必要而深刻的理解．“學非探其花，要自拔其根”，意思是說探究不能只停留在表面上，還要尋根究底，挖掘問題的數學本質．如果對函數的重要不等式ex≥x+1?ln(x+1)≤x了如指掌，本題的思路自然十分清晰．

如果知道ex+m≥x+m+1≥ln(x+1)+m+1≥ln(x+1)+2，那么本題證明的思路就一目了然了.

證法5 先證明當x>-1時，ex≥x+1，即x≥ln(x+1).設F(x)=ex-x-1(其中x>-1)，則

F′(x)=ex-1，

易證F(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，從而

f(x)≥F(x)=0，

即

ex≥x+1(其中x∈R),

因此ln(x+1)≤x(當且僅當x=0時取到等號).

再證明ex+m-ln(x+1)-2>0．由ex≥x+1(其中x∈R)，得ex+1≥x+2(當且僅當x=-1時取到等號)，因為x>-1，m≥1，且ex+1≥x+2與ln(x+1)≤x不同時取到等號，所以

ex+m-ln(x+1)-2= em-1·ex+1-ln(x+1)-2>

em-1(x+2)-x-2=

(em-1-1)(x+2)≥0.

綜上所述，當m≥1時，f(x)>g(x)-x3．

在數學復習教學中，教師應善于利用模擬試題的“原生性”，有意識地研究試題的“題根”，合理轉化、變形、拓展、延伸，挖掘其中潛在的數學思想方法，揭示其豐富的內涵，使得思維在形式的變化中得以提升，開拓解題的思路，激活“火熱”的思維．

2016-10-10；

2016-11-16

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽人，中學高級教師．研究方向：數學教育．

O122

A

1003-6407(2017)04-47-04