平面解析幾何備考復習策略*

●葉瑩瑩 (滸山中學 浙江慈溪 315300) ●苗孟義 (三山高級中學 浙江慈溪 315300)

平面解析幾何備考復習策略*

●葉瑩瑩 (滸山中學 浙江慈溪 315300) ●苗孟義 (三山高級中學 浙江慈溪 315300)

2017年浙江省數學高考命題是文理不分科后的第1次命題，文章在浙江省歷年數學高考自主命題研究的基礎上，結合考試院12月的測試卷，預測2017年高考平面解析幾何部分的考查難度(過去的“文科起步、理科壓軸”的梯度)、考查內容、命題特點、復習備考策略等.

解析幾何；圓錐曲線；高考備考；復習策略

1 知識內容

平面解析幾何是高中數學教學的核心內容之一，在高考數學中占有十分重要的地位，是歷年高考的重點、熱點和難點.主要考查直線方程，圓的方程，直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，簡單的線性規劃問題，圓錐曲線的定義、方程、性質，以及以橢圓或拋物線為載體，結合其他知識考查的綜合性問題等.

2 試題分析

2017年是文理不分科后第1次高考數學命題，回顧歷年浙江省數學高考試題和2017年省考試院測試卷可以看出，平面解析幾何內容一般考查3～4個選擇題和填空題、1個解答題.文理不分科后就這部分內容的考查，試題的難易度會有所調整，預測類似于過去的“文科起步、理科壓軸”的梯度.

1)直線方程，圓的方程，直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，簡單的線性規劃問題，在歷年高考中主要以選擇題、填空題的形式出現，考查相關概念、基本公式及應用，簡單的線性規劃問題(包括含參、恒成立、能成立、整點)等.

2)圓錐曲線在歷年高考中，試題呈現選擇題、填空題、解答題3種題型，其命題特點：

①選擇題、填空題多數在基本概念和性質上命題，考查學生推理論證能力與數形結合的能力，包括圓錐曲線的定義、標準方程、性質的應用，特別是漸近線、離心率等.

②解答題表述簡潔明了，一題兩問，由淺入深，起點低、落點高.第1問考查基礎知識，第2問考查綜合性問題，如面積、位置關系等，對知識提出了較高要求，對考生的直覺判斷、探究思辨、轉化化歸、代數運算等方面提出新的挑戰.

3 典題剖析

例1 1)“a=-2”是“直線l1:ax-y+3=0與直線l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的

( )

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

( )

A．與m有關 B．與a有關

C．與k有關 D．等于-1

( )

A．m<0 B．m>0

解 1)直線l1與直線l2互相平行的充要條件為

即

a=-2或a=1，

因此“a=-2”是“直線l1:ax-y+3=0與直線l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要條件．故選A．

2)由|logax|=m得

xA=am，xB=a-m.

yC=ka-m，yD=kam，

從而

因此直線CD的斜率只與k有關．故選C．

2t2-t+2m=0，

該方程表示一條直線，故關于t的方程在t≥0上有且只有1個實數解，分2類情況：

②令f(t)=2t2-t+2m，則f(0)<0，得m<0.

評注 文理不分科后，涉及直線的斜率與截距、直線平行與垂直的充要條件、直線方程的幾種形式、交點、距離等的考題往往是送分題，在復習時要打實基礎，提高計算的正確率.另外要注意與其他知識的結合考查.

例2 1)以(a,1)為圓心，且與直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時相切的圓的標準方程為

( )

A．(x-1)2+(y-1)2=5

B．(x+1)2+(y+1)2=5

C．(x-1)2+y2=5

D．x2+(y-1)2=5

3)在平面直角坐標系xOy中，⊙C的方程為x2+y2+8x+15=0．若直線y=kx上至少存在一點，使得以該點為圓心、1為半徑的圓與⊙C有公共點，則實數k的取值范圍是______．

1)解 因為直線2x-y+4=0與直線2x-y-6=0的距離為

2)解法1 設直線l與⊙C的交點為M(x1,y1)，N(x2,y2),則

(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0，

從而

圖1

解法2 如圖1，取MN的中點為G，則CG⊥MN，由極化恒等式得

3)解 ⊙C的方程為

x2+y2+8x+15=0，

整理得

(x+4)2+y2=1，

這是一個以(-4,0)為圓心、1為半徑的圓．又直線y=kx上至少存在一點，使得以該點為圓心、1為半徑的圓與⊙C有公共點，則圓心C(-4,0)到直線y=kx的距離d≤2，即

解得

評注 研究直線與圓這2個基本圖形，關鍵是抓住通性通法：用坐標法研究幾何性質.在解題時一定要從數與形這2個角度入手，既要弄清圖形的幾何特征，又要熟練應用各種代數工具(解方程組、弦長公式、距離等)，多方聯想，選擇適當的方法解題，減少計算量.特別是解決直線與圓的綜合問題,處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形；圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，建立關系解決問題．第2)小題涉及到極化恒等式并沒有出現在三角形中，但仍然適用，其本質就是圓的切割線定理．

2)已知實數x,y滿足約束條件

若目標函數z=2x-y+m的最大值為10，則實數m的值為

( )

又zA=1,zB=3,zC=-1，于是目標函數z=x+y的取值范圍為[-1,3]．

圖2 圖3

(x-2)2+(y-2)2≤8(其中x+y≠0)，

圖4

評注 線性規劃考查的題型以選擇題、填空題為主，主要抓住以下3點：1)平面區域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線)，是否為整數解等，避免失誤的重要方法就是讓二元一次不等式標準化;2)要注意數形結合思想的運用，目標函數的幾何意義可從截距、斜率、距離等方面考慮，特別注意有時是距離的平方;3)要關注特殊點檢驗法．

解 1)若方程C表示橢圓，則

解得m∈(2,4)∪(4,6).

若方程C表示雙曲線，則

(m-2)(6-m)<0,

解得m∈(-∞,2)∪(6,+∞).

2)設|AF|=a，|BF|=b,由拋物線定義知

2|MM′|=a+b.

由余弦定理得

評注 這類題目往往是送分題，注重對圓錐曲線的定義與方程的考查，檢測基本概念的理解和掌握程度，對不同曲線的幾何性質又有不同的側重考核要求.

1)求橢圓C的方程；

圖5

2)如圖5，過點M(0,m)(其中m>0)的直線與橢圓C交于點A,B，在直線y=-m上存在點N，使△NAB為正三角形，求m的最大值.

2)顯然，直線AB的斜率存在，設其方程為

y=kx+m，

(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,

從而

Δ=100k2m2-4(1+5k2)(5m2-5).

設A(x1,y1)，B(x2,y2),則

設線段AB的中點為P(x0,y0)，則直線PN：

由△NAB為正三角形得

從而

m2(2+5k2)2=15(5k2+1-m2),

得

令1+5k2=t，則

評注 解決解析幾何綜合問題的基本策略：1)利用方程思想，聯立消元，結合韋達定理來解；2)設而不求，靈活運用曲線方程來處理；3)結合平面幾何知識來處理，很多時候平面幾何知識運用得好，可以大大減少計算量.從2017年浙江省數學測試卷解答題第21題第1)小題可以看出，對于程度較好的學生，最好多掌握一些“高考和競賽接軌的部分，初等數學與高等數學的邊緣部分”知識，可以秒殺很多難題.

4 精題集萃

1．設直線l1：(a+1)x+3y+2=0,直線l2:x+2y+1=0,若l1∥l2,則a=______；若l1⊥l2,則a=______．

( )

A．8 B．10 C．12 D．15

( )

7.已知定點A(-1,0)和B(1,0)，動點P(x,y)在直線l:y=x+3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為

( )

1)求橢圓C的標準方程；

參 考 答 案

5．D 6.B 7.A

8.解 1)由題意得

解得a2=12,b2=4,因此橢圓的方程為

2)聯立

消去y得

因為直線l與橢圓C交于不同的2個點A，B,所以

Δ=36m2-16(3m2-12)>0，

解得m2<16.設A(x1,y1)，B(x2,y2),則x1,x2是方程(1)的2個根，則

從而

解之得m=±2．

由題意知，點P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點．設AB的中點為E(x0,y0)，則

即

y=-x-1,

令y=2，得t=-3．

即

y=-x+1,

令y=2，得t=-1．

綜上所述，t的值為-3或-1．

2017-01-13；

2017-02-16

葉瑩瑩(1983-)，女，浙江慈溪人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-34-05