高中數學平面向量問題解法探究*

●汪道智

(富陽新登中學 浙江杭州 311404)

高中數學平面向量問題解法探究*

●汪道智

(富陽新登中學 浙江杭州 311404)

平面向量問題在高考卷及各種模擬卷、競賽卷中常有涉及.教學過程中發現學生碰到向量問題時要么不知道應該怎樣入手，要么解法單一.文章試圖將平面向量問題的解法做一個歸納整理，教會學生該如何解決平面向量問題.

平面向量;數形結合;極化恒等式

近年來，高中數學的平面向量問題在高考卷以及各地高考模擬試卷中常有涉及，且其解題方法多種多樣.平面向量兼具代數和幾何特性，是溝通代數與幾何的一種工具，是數學中數形結合思想的典型體現.筆者作為一線教師，對近年來各地區平面向量的高考題以及各地模擬題的類型進行了歸納整理，下面將對平面向量問題的解題方法進行總結與探究，希望能對學生的學習有所幫助.

1 將向量問題轉化為函數問題，以數助形

1.1 坐標法

在教學中,經常提及的平面向量的解決方法是通過建系引入坐標，將向量的運算轉化為代數運算，這樣就可以將“形”與“數”緊密結合.建立直角坐標系是平面向量代數化最直接的方法.

例1 已知a,b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是

( )

(2013年湖南省數學高考理科試題第6題)

圖1

分析 由于a,b是相互垂直的單位向量，故可建立直角坐標系，運用向量的坐標運算來求解.

c-a-b=(x-1,y-1),

又|c-a-b|=1，從而

(x-1)2+(y-1)2=1，

1.2 利用三角函數來解決向量問題

若建系后條件中出現變量在某個圓上運動時，可以引入三角函數來處理相關問題.

圖2

(2016年四川省數學高考理科試題第10題)

分析 本題中有動點與定點，首先要根據條件找到動點的軌跡，再用三角函數去解決.

x0=2+cosθ，y0=sinθ.

2 運用平面向量幾何特性，以形助數

(2016年江蘇省數學高考試題第13題)

圖3

分析 用基底表示其他向量是解答本題的關鍵.

9b2-a2=4,

b2-a2=-1,

2.2 平面向量數量積的幾何意義平面向量數量積定義是a·b=|a|·|b|cosθ，其幾何意義是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.數量積的幾何意義能幫助學生理解向量作為工具的真正內涵，恰當運用數量積的幾何意義能很大程度地減少運算量[1].

(2012年湖南省數學高考文科試題第15題)

圖4

3 圖形構造

向量加法、減法等運算特有的幾何意義使得數形結合這一重要的數學思想在解題中發揮著重要的作用.2015年與2016年浙江省數學競賽中的平面向量問題都是通過構造圖形再利用圖形特征求解的.

(2015年浙江省高中數學競賽試題第14題)

分析 由本題條件可以考慮建系，用坐標運算解題，但變量較多，計算量相對較大.而按照題目要求直接構造圖形，可化繁為簡.

AC2=|a|2+|c|2-|a|·|c|cos∠AOC,即

|a|·|c|≤30，于是

a·c=|a|·|c|cos∠AOC≤24

即a·c的最大值為24

圖5 圖6

(2016年浙江省高中數學競賽試題第6題)

由圖可知 ED+DC≥EC=26.

故選B.

4 實現平面向量代數化的主要工具

幾何意義:平行四邊形對角線的平方和等于4條邊的平方和.

( )

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}

B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}

C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

解 根據向量運算的三角形法則知，min{|a+b|2,|a-b|2}與min{|a|,|b|}大小不定，排除選項A,B.由上述等式，即

|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2，可得

|a|2+|b|2.

故選D.

圖7 圖8

工具2 極化恒等式：

下面舉例說明極化恒等式的妙用：

(2012年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析 本題是使用極化恒等式解題的典型例題.

(2013年浙江省數學高考理科試題第7題)

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

圖9

分析 此題可以考慮建系，運用坐標運算轉化成函數問題來處理.但是變量較多，對學生的化歸能力以及計算能力要求較高.本題運用極化恒等式處理非常簡潔明了.

解 如圖9，在△PBC中，由極化恒等式得

在△P0BC中,有

因此對于邊AB上任一點P，恒有

從而

即MP0⊥AB.

工具3 三角形不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

分析 本題將上述實現平面向量問題代數化的幾個工具用到了極致.

解 由三角形不等式得

由單位向量e的任意性可得

從而

10=2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2，

于是

(a-b)2≥4.

綜觀近年來的數學高考試卷，平面向量的題型越來越靈活多變.在平常教學中經常聽到教師對學生說：“向量問題能建系則建系.”這是對學生的一種誤導,容易造成學生碰到難以建系的向量問題而無從下手,教師應引導學生根據題中不同的條件選擇相應的解題方法.如文中提及的基底法、圖形構造、數量積幾何意義、極化恒等式、三角形不等式等，都是解決平面向量問題的基本方法.總之，平面向量問題靈活多變，筆者不可能將所有方法一一列舉，以上只是平時向量教學中的一些解題方法小結，意在教學中加強學生對解題工具的選擇能力，加深學生對數學本質的理解.

[1] 王蘇文.巧用數量積的幾何意義[J].中學生數學，2013(4)：16-17.

[2] 王紅權.巧用極化恒等式 妙解一類向量題[J].中學教研(數學)，2013(8)：24-25.

2016-12-21；

2017-02-16

汪道智(1980-)，男，浙江杭州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-14-04