探索有效途徑 提升數學素養*
——以一道中考壓軸題為例

●李鵬鑰

(蘇州市第十二中學 江蘇蘇州 215008)

探索有效途徑 提升數學素養*
——以一道中考壓軸題為例

●李鵬鑰

(蘇州市第十二中學 江蘇蘇州 215008)

文章針對初中學生在解答數學中考壓軸題時思維能力的欠缺，進行了深度思考和對策研究，并以中考壓軸題為例歸納出“思維導圖”“多維探索”“一題多解”“巧妙變式”等有效教學途徑，提升學生思維的深刻性、創造性、發散性、靈活性等數學思維品質，從而提升數學素養.

途徑;提升;思維;素養

中考壓軸題，由于其考查知識面廣、靈活性大、思維能力要求高，導致學生無從下手，望題興嘆.在復習中，教師應盡可能根據學生原有認知探求出合適的教學方式，突破學生的思維瓶頸，形成規范的思維范式，進而提升學生的數學素養.筆者以2016年江蘇省蘇州市數學中考壓軸題為例，談談如何通過合適的途徑突破思維瓶頸，提高思維品質.

1 案例呈現

圖1

題目 如圖1，直線l:y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于點A,B，拋物線y=ax2-2ax+a+4(其中a<0)經過點B．

1)求該拋物線的函數表達式.

2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，聯結AM,BM．設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值.

3)在第2)小題的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′.

①寫出點M′的坐標.

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉．在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C．設點B,M′到直線l′的距離分別為d1,d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度(即∠BAC的度數)．

(2016年江蘇省蘇州市數學中考試題第28題)

1.1 案例點評

本題是代數中的二次函數相關知識與幾何中的動點、動線及面積問題相結合的綜合問題，主要考查：

1)一次、二次函數相關知識的基本掌握情況；

2)動態幾何中的動點或動線問題的掌握情況；

3)運用所學代數幾何知識綜合解決問題的能力；

4)思維的廣度、深度及靈活性.

1.2 錯解歸因

1)題目較長、文字較多，學生容易產生畏懼情緒；

2)考查的知識點較多，綜合思維能力要求較高；

3)學生思維不夠靈活，深度和廣度不夠，思維品質較差.

2 解決途徑

2.1 通過思維導圖分解綜合題，提升思維的深刻性

思維的深刻性是數學思維品質中重要的思維品質之一，對其他思維品質具有統攝和聯動作用[1].在解決問題時，若缺少對問題本質深刻性的認識，其靈活性、批判性就無從談起.在教學中，我們可將綜合問題逐層分解，嘗試先勾勒出解決問題的思維方向，層層深入，然后再將思維推向縱深.

如本題中，結合圖2，可引導學生將3個問題用思維導圖的方式勾勒出思維走向：

圖2

第1)小題思維導圖：求拋物線y=ax2-2ax+a+4的函數表達式→求點B的坐標→由已知條件：直線y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于點A,B，易得點B坐標→問題輕松解決.

第2)小題思維導圖：求三角形面積S與拋物線上動點M的橫坐標m的函數表達式，并求出S的最大值→求三角形面積→運用割補法添加輔助線,化不規則圖形為規則圖形→求出三角形面積S與m的函數表達式→利用二次函數式的頂點坐標求出最大值→問題解決.

第3)小題思維導圖：在第2)小題的基礎上，第3)小題的第①問可以直接求解.

第3)小題的第②問：求∠BAC的度數→先確定點C或直線AC的位置→結合條件“點B,M′到直線l′的距離分別為d1,d2，當d1+d2最大時”確定點C的位置(此處為難點，可通過引導學生利用以前所學過的求最大或最小值的方法，并結合圖形進行仔細觀察分析解決)→發現當直線AC⊥BM時，d1+d2最大→求出AC,AB的長→求出BM′的長→在Rt△ABC中利用三角函數求出∠BAC→解決問題.

通過以上思維導圖的分析把一道綜合性較強、難度較大的中考壓軸題，分解為學生熟悉的基本問題，一層層解開綜合題背后的思維節點.教師長期引導學生對綜合問題進行分解，并畫出思維導圖，學生將逐步認識到問題的本質，潛移默化中提升了思維的深刻性.

2.2 通過多維探索，提升學生思維的創造性

創造性思維是學生適應未來需要的一種較高的思維方式，其根本是能夠多角度、多維度地看待和處理問題.在教學中，可通過多維探索的方式來培養學生思維的創造性.所謂多維探索就是對問題的分析(或解決)不局限在現有思維對象、思維方式中，而是積極探尋其他的能激發學生數學思考的思維對象和方式[2].

如第2)小題某資料參考答案如下：

令y=0，代入y=-x2+2x+3，得

0=-x2+2x+3，

從而

x=-1或x=3，

圖3

于是拋物線與x軸的交點橫坐標為-1和3.因為點M在拋物線上，又在第一象限內，所以0

若教師按上述解答過程照本宣科地分析，而不引導學生進行多角度、多途徑去解決問題，則會導致學生的思維受限和僵化，思維得不到創新和發展.為此，在講解此題的過程中，除了上述方法外，還可引導學生思考以下問題：

1)上述方法是利用“割”法來求三角形面積，還有其他“割”法嗎？能用“補”法嗎？

2)你能說出哪些不同的“割”法和“補”法？

3)聯結OM，能求出S△ABM嗎？

4)如果點M在拋物線的對稱軸上、對稱軸左側，那么還能繼續運用上述方法嗎？

……

教師通過更多問題來引導學生進行積極思考，讓學生多一些探索、多一些提問，嘗試多維度思考問題.長期下去，必然會促進學生思維的創造性，從而避免思維僵化、思維定勢.

2.3 通過“一題多解”，提升學生思維的發散性

“發散性思維”是一種不依常規、尋求變異，對給出的材料信息從不同角度、用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式.數學教學中的“一題多解”就是從不同角度、不同方位審視、分析同一問題中的數量關系，用不同解法求得相同結果的思維過程.教學中適當的一題多解，可以激發學生去發現和創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性、靈活性和創造性，從而培養學生思維的發散性[3].

第3)小題第②問的“一題多解”：

解法1 (采用直線平移法，運用圓的特殊性)

如圖4，過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F.根據題意知d1+d2=BF，此時只要求出BF的最大值即可.

過點M′作M′G⊥AB于點G，設BG=x，由勾股定理可得

M′B2-BG2=M′A2-AG2,

即

因為l1∥l′，所以∠BCA=90°，故

∠BAC=45°.

圖4 圖5

解法2 (采用面積法，運用整體思想)

如圖5，過點B作BD⊥l′于點D，過點M′作M′E⊥l′于點E，則

BD=d1,EM′=d2.

S△ABM′=S△ABC+S△ACM′=

故

∠BAC=45°.

解法3 (特殊位置法，運用三點共線使線段和(差)最大(小))

如圖5，過點B作BD⊥l′于點D，過點M′作M′E⊥l′于點E，則BD=d1,EM′=d2.在Rt△BCD中，d1≤BC,同理可得d2≤M′C,從而d1+d2的最大值為BC+M′C，此時AC⊥BM′(下同解法2).

在平時教學中，教師可通過“一題多解”的訓練，引導學生多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路、尋找出最佳解題方案，總結解題規律，提高分析問題、解決問題能力，從而提升學生思維的發散性.

2.4 通過“巧妙變式”,提升學生思維的靈活性

思維的靈活性是指在思維具有一定廣度和一定主動性基礎上，產生的一種較為難得的思維品質.具備了思維靈活性的學生能從不同角度運用不同的知識與方法思考和解決數學問題，并得到多樣化的思維結果.在解題過程中，學生能否迅速引發聯想、調整思維狀態、建立聯系，是訓練學生思維靈活性的關鍵所在.我們可在教學中多采用“巧妙變式”訓練來提升學生思維靈活性[4].

本題在講評時可進行如下變式訓練：

變式1 更換原題目的條件

①點M在第二(或第三或第四)象限內，求△ABM的面積(注：面積是否還存在最值)；

②設拋物線的頂點為D，求點A,B,M,D所構成的四邊形面積的最值.

變式2 更換原題目的問題

第1)小題可以改為：求a的值、頂點坐標、對稱軸、與坐標軸的交點坐標等等.

第2)小題可以改為：

①當點M在頂點位置時，求△ABM的面積；

②當AB⊥AM時，求點M的坐標或BM(或AM)的長.

第3)小題可以改為：

①當∠BAC=60°時，求d1+d2的值;

②當S△ABM最大時，求d1+d2的值.

在變式訓練中，教師需通過相互關聯的問題鏈來不斷激發學生的思維，使學生的思維處于“憤”“悱”的狀態，對所研究的問題能舉一反三、觸類旁通，進而提高學生的數學學習能力.這就需要教師有意識地將典型的數學問題進行多角度變式訓練，通過適度合理的變式，促使學生領悟數學知識間的縱橫聯系，增強演繹推理能力，發展和豐富自己的想象力，使學生思維的靈活性得到較大提升.

數學是思維的體操.數學與思維能力密不可分，提升數學思維能力是學好數學的重要突破口[5].筆者所述“思維導圖”“一題多解”“多維探索”“變式訓練”等4種途徑旨在提升學生的思維品質，從而提升數學素養.望對同仁有所啟迪與裨益.

[1] 張數虎.巧用生物習題培養學生思維的深刻性[J].教學與管理，2011(28)：71-73.

[2] 蔣鐵偉,王震.數學教學中學生創造性思維的培養[J].中學數學月刊，2013(11)：11-12.

[3] 王行志.發散性思維與一題多解[J].江蘇教育，1986(20)：40-41.

[4] 卞恩艷，許彩娟.從一題多解例談初中生數學思維的靈活性特點[J].中學數學教育，2012(5)：34-36.

[5] 苑建廣.數學思維的5個品質——以2013年中考典題的破解為例[J].中學教研(數學)，2013(12)：33-36.

A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0

C.A={x|0

(2013年福建省數學高考理科試題第10題)

教師照本(文獻[1])宣科地呈現命題意圖，分析邏輯基礎，展示試題解答.

本題考查新定義與集合、函數的單調性等基礎知識，考查考生對新定義的理解與應用能力、數形結合能力、轉化和化歸能力、運算求解能力.本題需要確定不能構成“保序同構”(集合A,B固定后，考慮所有對應法則f均不能滿足條件1)，2))，可用“反例”來排除.

解 對于選項A：取f(x)=x-1，其中x∈N*，從而A=N*,B=N是“保序同構”；對于選項B：取

點評 教師強調求解此類“新定義的存在性問題”的關鍵是：首先讀懂新定義的含義(本質)；其次針對選擇題的特點，會利用特取法來快速智取，輕松破解.

數學是思維的學科，數學教學是數學思維活動的教學.如上處理只能說明教師是文字的搬運工，學生是特例的驗證者.“與本題相關的基礎(知識、思想方法等)有哪些，如何確定解題的切入點與關鍵點，問題的本質是什么，特例是怎樣找到的，特例是唯一的嗎，選項D為什么不是‘保序同構’”等等，只有把這些問題完全解決了，學生才算經歷完整的思維過程，從而領悟問題的本質.

師：“保序同構”要滿足什么條件？你見過同樣的題目或類似的問題嗎？你能重新敘述這道題目嗎？還有其他方式進行敘述嗎？

生1：對比函數概念，“保序同構”在函數的基礎上還要符合其他2個條件：1)T中元素無剩余(值域就是集合T)；2)函數y=f(x)在定義域S上單調遞增，即“保序同構”是從S到T的一一映射且該函數單調遞增.

師：分析很到位.定義、性質、定理等真命題具有統領作用，下面針對具體集合，你能給出滿足新定義的理由(反例否定與推證肯定)嗎？

對于選項C:考慮定義域區間“長度”有限，值域區間“長度”無限，聯想正切函數，可取

因此，可排除選項A,B,C，故選D.我正在考慮選項D的推證過程.

師：很好！哪位同學還需要補充？

點評 同構是抽象代數的重要概念，通過結構上的同構，其對象會有相似的屬性與操作，使理解和處理對象結構更容易，深化對該對象的認知.本題的高等背景是序同構：偏序集(A,)與偏序集(B,)同構，當且僅當存在一個雙射f:A→B，使得ab→f(a)f(b)且f(a)f(b)→ab.將高等數學概念與中學數學知識緊密聯系，在高等數學與初等數學的銜接點命題.“保序同構”要滿足2個條件：滿射(即像集T中的每個元素在S中都有一個或一個以上的原像)與單調遞增，即確定一個從S到T的單調遞增的一一映射.選項D需確定一個從正整數集到有理數集的單調遞增的一一映射,不存在“保序同構”的根本原因是整數的離散型與有理數的稠密性.

相對于題目條件,正例和反例怎么找？首先要弄清問題的本源，進行似然聯想，再進行理性確認.認識問題不能浮于表面，流于形式，淺嘗輒止，而應沉入內觀，揭示本質，攫取精髓，有時反例更能體現問題的根本與關鍵，凸顯思維的深度與廣度.

教學片斷2 “集合與邏輯”之“合情推理與演繹推理”

例2 設整數n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且3個條件x

( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S

C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

(2013年廣東省數學高考理科試題第8題)

師：本題考查集合、推理與證明，考查學生接受、理解、運用和遷移新知識能力，還有推理論證能力與創新意識.明確集合S表示的含義，對S中的各種情況進行組合，綜合分析.也可以對x,y,z,w賦值，利用特殊值進行排除.

解法1 (特殊值法)題設條件中x

解法2 (窮舉法)由(x,y,z)在S中，知

3個式子恰有1個成立.由(z,w,x)在S中，知

3個式子恰有1個成立.配對后只有4種情況：

1)式(1)和式(5)成立，此時w

2)式(1)和式(6)成立，此時x

3)式(2)和式(4)成立，此時y

4)式(3)和式(4)成立，此時z

綜上所述，(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

圖1

點評 解法1根據一般與特殊的關系，利用賦值法將抽象問題具體化、一般問題特殊化；解法2對條件直接翻譯，將各種情況進行整合，篩選出共生(存)的性質.2種解法均對接學生的認知，有效地解決問題.

師：解法2討論的情況較多，能否將其更直觀地表示出來？試著畫一張圖，引入適當的符號.

解法3 (樹狀圖)因為(x,y,z)∈S，(z,w,x)∈S，則各元素的大小關系如圖1所示，均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

師：數形結合要體現形的直觀與數的精準.你還能用更直觀的方式將其表示出來嗎？回到定義上去，執行你的解題方案，檢查每一個步驟.你能一眼就看出來嗎？

圖2

生：問題的本質是將某些數按一定順序(如順時針)排列，形成有序數組.如圖2所示，首先將x,y,z按順時針鑲嵌在圓上，再將w插入在z,x(按順時針)之間，即構成了x，y,z,w的序列，數形結合，一目了然.

(全體學生鼓掌.)

教學片斷3 “函數、導數及其應用”之“導數的綜合應用”

例3 1)已知0

教師分析第1)小題的解題思路，強調一題多問中要抓住各問之間的聯系.展示答案如下：

1)解 由f(x)=-x3+2x2-x+2，知

f′(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1)，

又因為0

將3個式子相加得

圖3

把根(背景與本質)留住，遇到相關問題，才能撩開其神秘的面紗，露出其樸素的面容，化生為熟，迎刃而解.如果學生基礎稍弱，那么可用下例(例4)進行鋪墊.

證法1 原不等式等價于

即

而

證法3 由柯西不等式可得

同理可得

3個式子相加即得所要證的結論.

因此函數f(x)在(0,1)上是(嚴格)上凸函數.由琴生不等式知

代入即得所要證的結論.

圖4

其中a,b,c中2個數為0，另一個數為1.

凹凸性是函數的重要性質之一，借助凹凸性可直接使用琴生不等式.不少教材將其高等數學初等化，使學生感到思路的突兀與奇妙.若熟悉相關背景與結論，則往往一眼見底.

2 教學思考

2.1 明晰目標，確定方向

教育的目的是育人.在感受學習的幸福基礎上,受教育者的天性與能力得到生長.簡言之，教育的終極目標就是提升人的素養(教育價值所在)使其幸福.素養是指一個人平時的基本修養，應該包括先天的以及后天訓練、實踐而獲得的技巧或能力，具體指個體的知識與技能、品德與觀念、思想與方法等[2].余文森認為：素養是素質加教養的產物，是天性和習性的結合.素養表現出整體性、綜合性、多維性、動態性等特點，素養無限，生命有限，學校教育時間更有限，只有抓住核心素養才能使教育效益最大化.學科核心素養是指在某科學知識、技能的學習過程中，感悟該學科的核心思想與方法，從而形成必備的學科觀念、學科能力，并把握學科本質[2].

學科的育人價值主要在于對特定核心素養的貢獻，如正在修訂的《普通高中數學課程標準》提出發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等6個核心素養，有助于他們學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界；有助于他們掌握“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)，有助于他們在未來的生活工作中，發現、提出問題，分析解決問題；有助于認識、理解數學的科學價值、應用價值、文化價值，形成批判性思維習慣、理性精神[3].教學研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者是教學的目標，是內容問題，后者是教學的方法，是形式問題，內容決定形式，形式為內容服務.眾所周知，數學概念是數學學習的起點，是數學思維的基礎.因此，學生要深化對數學概念(尤其是核心概念)的理解；數學思想具有統領性、遷移性等，學生要感悟數學思想的精髓.

2.2 透徹理解,合理組織

“教什么”是目標，目標是首要的；“怎么教”是技術，技術是無窮的.教無定法，貴在得法.

2.2.1 開展活動，合作探究

前蘇聯數學教育家斯托利亞爾認為：“數學教學是數學活動(思維活動)的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學.”目前，作為工具、載體的知識常被絕對化和神圣化，能力與素養卻被弱化和邊緣化.當然,教學活動離不開知識，教學活動對知識具有絕對的依賴性，沒有了知識，教學活動便成為無源之水、無本之木.因此，教師要根據內容、目標，適時適度地組織數學活動，讓學生在交流中感知、感悟、深化、提升.如以例2為載體開展活動，使學生經歷思維從膚淺到深刻的過程，培養學生的抽象能力和鍥而不舍的精神.

2.2.2 激發興趣，自然生成

前蘇聯著名教育家贊可夫認為：“教學法一旦觸及到學生的情緒和意志領域，觸及到學生的精神需要，這種教學法就發揮高效的作用.”教學的藝術不在于傳授本領，而在善于激勵喚醒和鼓舞.激發學生的學習興趣，培養探究質疑精神，教師要設計出好問題(具有接受性、障礙性、探索性等特征)，學生在挑戰中領略數學的有用、自然、清楚、美妙.例1表面強大，實際虛弱，學生通過對定義的解讀，感受到概念的強大作用，構造的函數靈活多變、本質始終如一，有效激發學生學習的興趣，保持學習的持久動力.

2.2.3 注重整體，強化聯系

聯系是永恒的，整體是絕對的，素養是持續發展的，整體理解數學課程是基礎.高中數學課程是一個有機整體，要整體理解數學課程性質與理念，整體掌握數學課程目標，特別需要整體感悟數學核心素養，整體認識數學課程內容結構—主線—主題—關鍵概念、定理、模型、思想方法、應用，整體設計與實施教學[3].教師要研透課程標準、深入教材，對(不限于)高中數學全面的了解，作出宏觀計劃，微觀周密部署，確保教學內容與思想方法等有計劃、有步驟、高效率的實施[4].例3中2個小題之間的聯系、例4中各種解法之間的關聯均較好地體現了問題的聯系性與整體性，函數的凹凸性揭示了問題的本源.

2.3 終身學習，永葆活力

課程的內容掌握是根本，教師的數學素養決定成敗.德國民主主義教育家第斯多惠說過：“誰要是自己還沒有發展培養和教育好，他就不能發展培養和教育別人.”他還說過：“教師必須有獨創性.他對學生要成為理性和啟蒙的真實的火炬，使學生得以揭穿自己的錯誤意見，而被引導到真理的道路上去.”《學記》云：“記問之學，不足以為人師.”這句話道出了人師的根本：做人師，不能單靠死記硬背得來的知識；為人師，要有真本領、真學問.在新的教育形式下，教師若還抱缺守殘(經驗)，故步自封，只會處處受挫，喪失尊嚴.反之，具備學科素養的教師就能贏得“學科尊嚴”和“個人尊嚴”.

學習不是對傳統的全盤否定，而是在繼承發揚中創新發展.加涅指出：“問題解決并不是簡單地就先前習得的規則的運用，它也是一個產生新的學習的過程.”[5]愛因斯坦曾說過：“從新的角度去看舊的問題，需要有創造性的想象力.”教師自己對內容清清楚楚，教學才能運籌帷幄，駕馭自如.

參 考 文 獻

[1] 杜志建.2013年全國各省市高考試題匯編(理科數學)[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2013.

[2] 朱立明.基于深化課程改革的數學核心素養體系構建[J].中國教育學刊，2016(5)：76-80．

[3] 王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師，2016(5)：33-38．

[4] 鄭良.數學教學要見機行事[J].數學教學研究，2013(11)：9-14．

[5] 加涅.學習的條件和教學論[M].皮連生, 王映學, 鄭葳,譯.上海：上海教育出版社，1999.

2016-11-21；

2016-12-30

李鵬鑰(1973-)，女，江蘇蘇州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-01-04