引導高中生提高數學運算能力的基本方法

黃行銘

（福州市屏東中學，福建 福州 350000）

引導高中生提高數學運算能力的基本方法

黃行銘

（福州市屏東中學，福建 福州 350000）

針對目前高考數學對學生運算能力的要求和當前高中生運算能力的現狀，提出培養高中生數學運算能力的若干基本方法。

高中數學；運算能力

自福建省中考允許使用計算器以來，許多初中學生忽視了對運算能力的自我訓練與培養，但由于在高中學習階段數學考試中不允許使用計算器，于是，這些學生在考試的運算問題中就會經常發生錯誤，致使學習成績明顯退步，逐漸對數學學習失去信心，失去興趣。

數學高考雖不要求考生具備進行十分復雜運算的能力，但要求學生在不使用計算器的情況下有較熟練的基本運算能力。考生具備了較熟練的基本運算能力，才能在規定的考試時間內迅速而又正確地完成答題，才能獲得數學高考的大部分基礎分數，這也是考生在數學高考中能取得好成績的必要前提。

“準確”是運算的最基本要求，正確地記憶和運用公式及法則，是準確的前提，是運算能力的第一層次要求，學會采用合理與簡捷的方式，對應用公式與法則時做到能正用、逆用、變用和活用，這是對高中學生運算能力的第二層次要求。運算能力的培養、訓練并不是枯燥乏味的機械重復，它需要動員學生用“眼”，用“心”，用“腦”，尋找最佳的運算途徑，使之能從中體驗到運算的樂趣。在實際教學中我們可以引導學生從以下幾個方面著手以提高數學運算能力。

一、熟記數學公式與常用數據

培養學生的運算能力，除了要讓學生熟記數學公式之外，還要讓學生熟記一些常用的數據與公式、法則，甚至要掌握一些口算、速算的方法。如：1～21的平方數；2n(n=1、2····10）的值；lg5的值；特殊的勾股數3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等；許多特殊的三角函數值；等邊三角形的面積與邊長的關系等。讓學生熟記這些數據，才能提高學生的解題運算速度。運算能力也是在日常學習中逐步積累起來的，日常教學中，教師應針對許多常用的公式與數據，提醒學生有意識地加強記憶與訓練。

二、運用數形結合思想簡化運算過程

高中數學的學習大都是圍繞著數與形進行的，數形結合的思想是數學學習中必須掌握的一個重要的思想。所謂數形結合，是指通過以形助數，或以數解形，使抽象問題直觀化、復雜問題簡單化的一種思維方法.使用數形結合方法，常可使許多貌似復雜的運算問題迎刃而解。“數”與“形”之間有著密切的聯系，“數”可以用“形”直觀的表示出來，“形”可以用“數”來準確的研究，在解題時，促使數與形的完美結合，往往是選擇解題思路時的最佳途徑。因此，培養高中學生的運算能力，要讓學生學會借助圖形進行精簡的計算和推理，直觀、準確地得出正確的答案，這也是每位高中學生必須掌握的基本方法，在日常教學中，教師要在一些例習題的訓練中強化這種數形結合的意識，使學生體會到：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休；幾何代數統一體,永遠聯系莫分離”。

分析：如圖，在直角坐標中，做出可行域△ABC，的各頂點坐標分別是A(4,4)、B(4,2)、C (4,2)，則表示可行域△ABC內任意一點（x,y）與定點(1,1)的連線斜率。觀察圖形可知，當動點移到可行域內的點B時，Z取得最大值

這是一個已司空見慣的線性規劃小問題，但在教學中，師生都較少去體會在問題中數形間的緊密聯系，品味問題解決過程中的數形結合思想，漏失了一次強化數形結合意識的良機。

例2.已知 x,y,z∈R且2x+3y+3z=1，則 x2+y2+z2的最小值為 。

分析：大多數學生解這一道題會使用柯西不等式，但是，如果將x2+y2+z2改寫為(x-0)2+(y-0)2+(z-0)2，則問題可轉化為求原點（0,0,0）到平面2x+3y+3z-1=0中的距離d的平方數最小值，聯想到點到直線的距離公式，類比可得故有x2+y2+z2的最小值是

這個問題的以上解法需要學生具有較強的數形結合思想意識，并能通過類比與聯想對問題進行猜想，才能迅速獲得結論。

三、從定義出發探求解題途徑，學會靈活運算

《考試說明》對高中學生的運算能力提出了如下要求：會根據概念公式和法則，對數、式和方程進行正確的運算和變形。數學定義是幾千年來社會實踐的必然結果，也是定理、性質、推論、公式的根本所在。定義反應的是事物的本質屬性，解題時經常追根溯源，從概念的定義出發探求解題途徑，往往是最直接、最有效的方法，可以避開許多不必要的運算。

例3.已知函數 f(x)= ||x-a，

（1）若不等式 f(x)≤3的解集為{|x-1≤x≤ }5，求實數a的值；

（2）在（1）的條件下，若 f(x)+f(x+5)〉m對于一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍。

分析：在正常情況下，大多數考生通過分區間求分段函數，根據圖像可以得出正確的解題思路。如考慮用絕對值的定義： ||x表示數x表示的點到原點的距離， ||x-a≤3表示數x在數軸上表示的點到數a表示的點的距離不超過3的解集為：1≤x≤5，則數a表示的點就是數-1表示的點與數5表示的點的線段中點所表示的數易得a=2。（2）中表示的是：f(x)+f(x+5)= |x-2|+ |x+3|中表示的是：數x表示的點到數2與數-3表示的點的距離之和。根據兩點間線段最短，可知數2到數-3的距離為5，可知|x-2|+ |x+3|〉5 ，根 據 題 意 要 求 ，x∈R 時 ，f(x)+f(x+5)≥m恒成立，故m≤5。

《考試說明》同時要求高中生能分析條件，尋找合理、簡捷的運算途徑，也就是要求學生不僅要具備基本的運算能力，還要能正確、迅速、合理的完成運算。要想正確、迅速、合理的完成運算，必須加強“運算靈活性”的培養，它可以有效合理地利用有限的時間和精力，減少運算的步驟，降低運算錯誤的概率。

例4.若對于實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a2(x-2)3，則a2的值為( )

A.3 B.6 C.9 D.12

分析：從已知條件中可以看出等式右邊等式的二項展開式中含有因式x-2，左邊的有x3，此時如能把x看作(x-2)+2，則有[( x-2)+2]3=[2 +(x-2)]3，a2是展開式中第三項(x-2)2的系數c32×2=6。

四、合理運用估算，規避繁瑣運算過程

《考試說明》要求高中生能分析條件，尋找合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估算，并能進行近似計算。估算是在日常生活中必不可少的一項基本技能，良好的估算能力可以讓學生做到“心中有數”，同時也是提高運算能力的很好的幫手。利用具體條件和有關知識對事物的數量或算式的結果，作出的大致推斷或估計。正確的估算會對迅速解題，正確判斷運算結果帶來必要的靈活性和機動性。

當 x=1時，y1=e，y2=1，此時，y1〉y2。

數學學習需要學生有明確的學習動機、濃厚的學習興趣與充足的學習信心，日常教學中，教師應主動了解學生學習的心理現狀，積極研究對策，彌補學生因運算能力不足造成的學習信心不足等心理問題。事實上，加強對學生意志品質的磨煉，提升學習數學的自信心，使之養成永不放棄的性格，對提高學生的運算能力也有重要作用。

［1］馬萍.淺談如何培養學生的運算能力［J］.數學學習與研究，2013(4).

［2］張倩.如何培養學生的運算能力［J］.考試周刊，2012(27).

［3］柏宗玲.如何培養學生的數學基本能力［J］.學周刊，2011 (17).

（責任編輯：王欽敏）