數學教材例題中蘊含的數學思想方法

左佳麗

【摘要】數學思想方法作為當今深化改革數學教育的重點，現行《義務教育數學課程標準（2011版）》在實施建議部分就有明確要求：要引導學生積累數學活動經驗，感悟數學思想.一次函數作為數學學習中最基本的函數模型，深入發掘其中的數學思想方法，對學生的數學學習有十分重要的意義.本研究以北師版數學教材八年級上冊“一次函數”中的例題為例，系統闡述例題蘊含的數學思想方法。

【關鍵詞】一次函數 數學思想 解題

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）15-0180-02

一、一般化與特殊化思想

波利亞在《怎樣解題》中明確指出，一般化是指“從考慮一個對象過渡到考慮包含這個對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含這個較小集合的更大集合”.

例1 選自八年級上冊79頁

寫出下列各題中y與x之間的關系，并判斷：y是否為x的一次函數？是否為正比例函數？

⑴汽車以60km/h的速度勻速行駛，形式路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關系；

⑵圓的面積y （cm2）與它的半徑x （cm）之間的關系；

⑶某水池有水15m3，現打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x h后這個水池內有水ym3.

這是一道考察一次函數和正比例函數概念的例題.我們已經知道一次函數和正比例函數的一般形式為.這道例題之所以稱其蘊含了一般化與特殊化的數學思想方法，主要是指兩個方面：（1）對于函數表達式的判定，當字母變成某一個特殊的數的時候，學生是否能抓住其實質，做出正確的判斷，這是指一般到特殊；（2）正比例函數是特殊的一次函數，而一次函數不一定是正比例函數，這是指特殊到一般.

二、數形結合思想

數形結合是中國傳統數學的基本方法與思想.在研究問題時把數和形結合考慮，把問題的數量關系轉化為圖形性質，或把圖形性質轉化為數量關系，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.數形結合思想的本質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維與形象思維結合.數形結合主要包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面.

例2 選自八年級上冊91頁

某種型號的摩托車的油箱加滿油后，油箱中的剩余油量y（升）與摩托車行駛路程x（千米）之間的關系如圖4—8所示.根據圖像回答下列問題：

（1）油箱最多科儲油多少升？

（2）一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？

（3）摩托車每行駛100km消耗多少升汽油？

（4）油箱中的剩余油量小于1L時，摩托車將

自動報警.行駛多少千米后，摩托車將自動報警？

這是一道一次函數的問題解決型例題.將生活中的實際問題作為問題情境，讓學生體會一次函數在實際生活中的應用.結合函數圖像解決問題.一方面考查學生對知識的掌握情況，另一方面讓學生體驗函數圖像對解決數學問題的重要作用.

三、分類討論思想

數學分類討論思想，是指將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種邏輯方法.有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性.分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中.

例3 選自八年級上冊80頁

我國自2011年9月1日起，個人工資、薪金所得稅征收辦法規定：月收入低于3500元的部分不收稅；月收入超過3500元但低于5000元的部分征收 的所得稅，……如某人月收入3860元，他應繳個人工資、薪金所得稅為（3860-3500）×3%=10.8（元）.

（1）當月收入大于3500元而又小于5000元時，寫出應繳所得稅y（元）與月收入x（元）之間的關系式；

（2）某人月收入4160元，他應繳他應繳個人工資、薪金所得稅多少元？

（3）如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅19.2元，那么此人本月工資、薪金收入是多少元？

這同樣是一道一次函數的問題解決型例題.相較于前面一道題，此題最大的特色在于要用分類討論的數學思想方法來解決問題.事實上，這也是學生首次接觸分段函數的題目.對不同段的工資，應繳納個人所得稅也不一樣，這就需要教師對學生進行引導，讓學生體會分類討論的實質.

四、數學模型思想

數學模型方法的本質是化歸，將一個現實問題化歸成一個數學問題，之后用數學只是解決這個問題，在翻譯回去成為現實問題的解答.模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義.這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識.

例4 選自八年級上冊89頁

在彈性限度內，彈簧的長度y（cm）是所掛物體質量x（kg）的一次函數.某彈簧不掛物體時長14.5cm；當所掛物體的質量為3kg時，彈簧長16cm.寫出y與x之間的關系式，并求當所掛物體的質量為4kg時彈簧的長度.

這是一道以其他學科（物理）為問題情境的例題，同樣也是一次函數在實際問題中的應用.由于題目已經明確說明長度y（cm）是所掛物體質量x（kg）是一次函數，因此，解決問題的關鍵在于如何構建一次函數的數學模型，即求一次函數的解析式.設出，求出的值，問題就迎刃而解了.

只要有數學解題，就會數學思想方法.老師在教學過程中，不但要教給學生知識，更要教會學生數學中所蘊含的思想方法.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]波利亞著，閆育蘇譯.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[3]馬波.中學數學解題研究[M].北京：北京師范大學出版社，2011.