高等數學中的幾種思維方法

周金城

摘 要：學習數學不只是掌握現成的公式、定理，更重要的是掌握科學的思維方法。本文探討了如何運用多種教學方法在高等數學教學中努力培養大學生的思維品質。

關鍵詞：高等數學；思維方法；培養

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）01-247-01

數學教育的主要任務應該是培養學生具有創造性的數學能力和解決實際問題的能力。學生學習數學，不僅要掌握數學知識、技能和能力，而且要掌握數學思維的方法，促進思維的發展。“高等數學”是高等教育中的一門重要基礎理論課，對學生素質的培養起著重要作用，“高等數學”所傳播的基本概念與方法、蘊涵的數學思想以及由數學思想培養起來的思維能力和素養，將會使學生終生受益。筆者結合教學實踐，總結了高等數學教學中的幾種重要的思維方法。

一、歸納思維

歸納是數學里一種基本的、重要的思維方法。著名數學家拉普拉斯指出：“在數學里，發現真理的主要工具是歸納和類比。”歸納思維就是從眾多的事物中找出共性和本質的東西的抽象化思維。從數學的發展可以看出，許多新的數學概念、定理、法則的形成，都經歷過積累經驗的過程，從大量觀察、計算，然后歸納出其共性和本質的東西。在高等數學中，許多重要結果的得出，都用到了歸納思維。例如：求某一函數的 階導數，通常的方法是求出其一階、二階（有時還要求出其三階、四階）導數，再歸納出 階導數的表達式。又各類多元復合函數求導歸納出連鎖法則，進而知道隱函數、參數方程求導，再進一步延伸到空間曲線切線、法平面的求法。教師在講解上述這些內容時，不但要使學生掌握歸納方法的要點、本質，更要使學生樹立起歸納的意識，并使他們認識到它在創新能力中的作用與價值，使學生能在學習和工作中能有意識的去運用，這樣有利于對學生創造思維的培養。教學中，首先教師要以身作則，要在教學的各個環節給予學生以示范，其次再要求學生去運用，去掌握。

二、發散思維

我們過去的教學較側重學生接受和記憶書本知識，也就是較注意培養學生的收斂思維。

為了培養學生的創新能力，我們在教學中更要有意識地培養學生的發散思維。發散性思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料，信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑去分析和解決問題的一種思維方式。 發散思維是一種重要的創造性思維，具有流暢性、多端性、靈活性、新穎性和精細性等特點。思維的多向性是發散性思維的本質特征，主要表現就是多方向、多角度和多層次地對已知的信息進行分析思考，汲取和重組信息，從而使思維不恪守常規，善于開拓、變異并提出新問題。尋求問題解答采用多種途徑進行，這種思維方式對于培養學生創造性思維具有更直接和更現實的意義。在高等數學教學中，教師培養學生的發散思維時，一題多解、一題多變是非常有效的方法。

在教學中應盡可能采用“發散性”提問，如“對某一問題的解法或思路你想到了哪些可能性？”，“還有什么不同的想法？”，或改變設問方式，增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，使學生產生和提出盡可能多，盡可能新、盡可能是前所未有和獨創的想法、解法，見解和可能性。實踐表明，通過啟發設問的方式對數學問題的開放發散的探索，有利于學生形成良好的數學思維品質，培養學生的發散思維和創新能力。

三、類比思維

類比是根據兩個或兩類的對象間有部分屬性相同，而推出它們某種屬性也相同的推理形式，被稱為最有創造性的一種思想方法。如一元和多元微積分、各類級數與廣義積分、各類微分方程法求解等等都具有很豐富的類比性。又比如，在高等數學中可把羅爾中值定理和拉格朗日中值定理進行類比，將兩個中值定理的條件、結論、幾何意義相互類比，然后再說明各自所處的地位、環境及應用，這樣就能取得比較好的教學效果。除了數學之外教學當中還可以延伸講類比思維在其他學科中的應用的例子。以仿生學為例，仿生學是用"生物機制"作類比。看見到燕子飛翔，人們就想到設計滑翔機和飛機；看到魚在水中的游，人們就想到潛艇、魚雷的制造。這種思想包括類比一聯想一預見的步驟，而數學的每一個概念、結論的深入，也是按著這個步驟展開的。因此，教師在教學過程中應重視將類比方法引進教學與學習活動，使學習活動更加具體化。實踐證明，在學習過程中，將新內容與自己已經熟悉的知識進行類比，不但易于接受、理解掌握新知識，更重要的是培養和鍛煉了自己的類比思維，有利于開發自己的創造力。

四、逆向思維

逆向思維（又稱反向思維）是相對于習慣性思維的另一種思維形式，它的一個重要特點就是從事物的反面去思考問題，對開闊思路、解決某些難題往往能起到積極的作用。因此，教帥在教學中應注重培養學生的反向思維。在高等數學中，有不少內容可培養學生的反向思維。在高等數學教材中，一些輔助函數和幾何圖形、定積分和不定積分的關系、命題的逆否命題、反證法等等中無處不體現反向思維。若教師駕馭這種思想，不但能提高自己的教學水平，同時也能擴展學生的思維能力。例如，求解微分方程 ，若將 視為自變量， 視為未知函數，求解此方程就困難，因為它既不是可分離變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程。但是如果利用逆向思維，即反過來將 視為未知函數， 視為自變量，它就是未知函數 的線性微分方程，從而很容易求出其通解。

五、應用數學的意識

數學教育要教給學生的不能只單純的數學知識，還應該努力培養學生運用數學的意識。所謂用數學的意識，就是指用數學知識的心理傾向性。它包含兩方面的意義：一方面當主體面臨有待解決的問題時.能主動嘗試用數學的立場、觀點和方法尋求解決問題的策略；另一方面，當主體接受一個新的數學理論時，能主動地探索這一新知識的來來龍去脈和實用價值，充分發展學生主體意識的作用，其中數學思維將起到直接或潛移默化的作用。這就需要教師在教學中努力使學生樹立數學觀念和悟性。

總之，在數學教學中要培養學生的創新思維，使學生的素質得以提高。

參考文獻：

[1]黃光榮.數學思維，數學教學與問題解決[J].大學數學，2012，20、（2）

[2]同濟大學數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.