滲透數學思維方法，提高學生思維能力

彭金強

摘要：在初中數學課程學習過程中，我們經常聽到學生反映：上課聽教師講課，聽得很懂，但到自己解題時，總感到困難重重，無從下手。事實上，有不少問題，學生感覺解答困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是學生的思維形式與具體問題的解決存在差異，也就是學生的數學思維存在障礙，如何幫助學生消除這個障礙，是我們每一位數學教師必須思考的問題，也是目前我們數學教師面臨的必須解決的問題。為此，筆者在教學實踐中“為開啟學生的思維之窗”做了一些努力。

關鍵詞：滲透；數學思維方法；提高；學生；思維能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0119

一、創設懸念情境，提高學生思維能力

懸念是牽制學生思維的線，設置懸念可以激發學生強烈的求知欲。提高學生思維能力。

例如，筆者在教學“三角形相似的應用”時，上課前，先給學生講一個故事：古希臘哲學家泰勒斯旅行到埃及，在一個晴朗的日子里，當地人陪同他去參觀胡夫金字塔，泰勒斯問旁邊的人：“誰知道這金字塔有多高？”當地人說：“沒有人知道，因為古代草片文書上沒有記載，而我們今天也不能判定這金字塔究竟有多高。”泰勒斯說：“可是，這是馬上可以測出來的，我可以根據我的身高測得金字塔的高度。”說完，泰勒斯取出一條結繩，在助手的幫助下，測得塔高是136.5米。故事講完了，在學生還沉浸在故事之中時，筆者問：“誰能說出泰勒斯是如何測出塔高的？”大家面面相覷，回答不出。于是，筆者說：“下面學習的知識就能幫助你回答！”這一懸念的設置，使學生產生了好奇心和濃厚的探究興趣，自然地進入學習中。創設懸念情境能激發求知的火花，促使學生主動地投入到學習中。

二、重視思維活動，發散思維得到升華

對學生來說，“做題”“作業”“問答”“提問”都是思維訓練的機會。教師在處理這些問題時，容易忽視考查學生在作出答案或結論之前的思維過程，往往使知識的形成過程受到高度壓縮，學生不注重理清知識的來龍去脈，忽視分析、探索過程，結果造成學生思維空間狹小、思維閉塞，致使生搬硬套結論，采用題海戰術，甚至機械模仿套路與模式。教師必須重視學生的思維活動，教學過程中要充分暴露學生錯誤的想法。思維的訓練和發展是以暴露思維過程為前提的，學生的思維能力是在暴露的過程中得到錘煉和提高的。梯形的中位線可以看成是三角形中位線的一般化的應用，在生活中我們看到梯形中位線的影子很多：梯子的一根根橫梁是許多“梯形”的中位線，只要知道其中的一對上底和下底，就可以解決其他的上底與下底的和，自然而然地將學生的思維發散開去……

而且從中體會到中位線是存在于什么圖形中，且在上面這多個梯形的疊加圖形中，中位線是一座重要的橋梁，因此有時，在一些問題中，“隱藏”的中位線要把它“挖掘”出來，或自己添加上去，像這樣一個簡單地而且貼近生活實際的問題，由一個點引到另一個點，由一個面引到另一個面，學生的思維也就像一個點光源發散到四面八方，當然就能很順利解決以下這個問題了（解題能力也提高了！）：

（錦州市中考），如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=a，BC=b，若E1、F1分別是AB、CD的中點，則：

E1F1=0.5（AD+BC）=0.5（a+b）；若E2、F2分別是E1B、F1C的中點，則：

E2F2=0.5（E1F1+BC）=0.5【0.5（a+b）+b】=0.25（a+3b）；當E3，F3分別是E2B、F2C的中點，則：

E3F3=0.5（E2F2+BC）=0.5【0.25（a+3b）+b】=0.125（a+7b）；若En、、Fn分別是En-1B、Fn-1C的中點，根據上述規律猜想EnFn= （n.≥1，n為整數）。

在這個點上還可以發散開來，引起許多的思考，教學的每一個環節都是培養數學思維品質的舞臺。它還可以引申到我們課題學習中的中點四邊形。例如，在等腰梯形中，若找到上底、下底的中點，和腰上的中點順次連接，這個中點四邊形是什么特殊四邊形呢？通過這個發散推理，學生也易去思考，若外面是一般的四邊形、平行四邊形、矩形呢等，它們的中點四邊形會是一樣的特征嗎？和什么有關呢？這樣抓住課堂教學的每一個環節，精心設計課堂提問，但是實際教學中，時間有限，而問題是無窮無盡的，到適當的時候，我們也要把網收回，把相關問題集中到一個點：這個問題其實是平行線分線段成比例的一種情形，是三角形中位線定理的一般情形，它的延伸拓展沒離開最基本的“梯形中位線定理”或“三角形中位線定理”。

數學教學需要研究培養學生良好思維品質的途徑、策略和方法，使學生融會貫通地學習知識，獨立地解決問題，敢于質疑，樂于創新。

三、引導學生進行歸納探究，培養思維能力

先研究個別的、特殊的問題，盡量總結出適合這些特殊問題的某些規律，然后總結出適合出同類事物的一般性規律。如我們在補充教學《根與系數關系》時，設計如下問題引導學生探究：

1. 讓學生完成下表方程

2. 注意觀察，比較兩根之和及兩根之積與方程系數的關系，并猜想對于x2+px+q=0的兩根與x1，x2方程系數的關系。

3. 對于二次項系數不為1的一元二次方程，是否也有類似的關系？填寫并考察下表：

4. 猜想：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2與方程的系數a，b的關系。并分別用符號語言及文字語言進行概括。

5. 你能給出嚴格的證明嗎？

四、引導學生進行對比探究，提高思維能力

對于雖不同類，但相似、相近或相關的問題，通過對比不但能獲得結論，而且還能確切地了解彼此間的聯系與區別。如我們在指導學習做《梯形》這一節中的課內練習時，筆者設計了如下問題引導學生探究：

如圖（2），在梯形ABCD中，連結AB的中點與CD的中點得到EF。

①請你給線段EF一個恰當的名稱。

②與三角形的中位線性質對比，請你推測梯形ABCD中位線有何性質？

③如圖（2）中，AD∥BC，當點D沿DA運動到點A時得到如圖（1）的三角形ABC，請問能否將梯形中位線性質的證明，轉化為三角形中位線問題來考慮？

④要使梯形中位線EF的長度不變，如何轉化？

⑤按照上述運動觀點，平行四邊形也可以看作是梯形的特殊情況，問能否轉化為平行四邊形問題來證明呢？

⑥由學生完成各種證法并進行概括。

五、注重聯想方法，提高思維能力

復雜的問題如何轉化為簡單的問題，陌生的問題如何轉化為熟悉的問題，像這樣的每一個具體問題如何實現這種轉化？關鍵是如何尋找正確、合理的轉化的途徑。把數學問題還原為生活問題。生活中處處是數學，從現實世界的各個方面尋找數學的影子，把較為抽象的數學知識轉化為日常生活中可感可觸的東西，“用糖衣裹著的炮彈”的形式呈現在學生面前，就會生發“擋不住的誘惑”。

例如：已知平面上構成四邊形的4點，在平面找一點，使這個點到已知4個點的距離之和最小。

這是一個純粹的數學問題，學生容易產生枯燥的感覺，可把它轉換成以下的形式：

如果A、B、C、D為4個村莊，現要合建一個自來水廠，為使水管成本最低，廠應建在何處，并說明理由。問題的實質沒有變，但以不同的形式交給兩個平行班解題，學生探究的熱情卻大相徑庭。節假日，布置一些實踐能力與觀察能力相結合才能解決的題目。如“說說木匠身邊的數學”“說說磚匠身邊的數學”“說說爸爸身邊的數學”等，也會帶來意想不到的收獲。

六、思維不斷創新，駛向未來

由這樣一個問題：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2……如此進行下去得到四邊形AnBnCnDn，依次記這些四邊形的面積為S1、S2、S3、……Sn，設S= S1、+ S2+……Sn，試探究S1、S2、S3，……Sn間的關系，并思考若S的值大于47.808，則n的值至少為多少？

這個問題放開讓學生去想，學生有許多創新，有學生問外面圖形矩形改成平行四邊形，一般的四邊形是否還有這個結論呢？（S=48×【1-（0.5）n】），這個結論和“正方形等無窮均分面積”是一樣的，也有學生問在這個圖形中它們的中心既然是共一個中心的，那我們可以以中心為原點，適當的建立坐標系，又可以和函數問題相關了呀？

這樣一個幾何問題可以借助直角坐標系這個載體比較清晰地發現各四邊形面積之間的關系，最后結果的得出還可借助代數中的數列中的一些規律解決，換種思維方法這個問題更形象地得以解決了，并培養了學生思維的創造性和深刻性。放手大膽地讓學生想，不斷的創新，教師也能有些收獲，對學生來說，知識得以鞏固，思維得到錘煉，為以后的生活奠定了一個好的基礎——積極面對困難，積極尋找解決問題的方法。

總之，在教學中，教師應重視培養學生具有良好的思維品質，提高學生數學素質；教師要充分發揮“導演”的作用，激發學生創造的“火花”；利用已有的知識，結合課堂教學，把“學生”與“知識”這兩個主體，通過全新的學習方式，緊密地聯系起來；努力從學生長遠發展的角度，注重學生思維過程，教給他思考問題的方法，學會自己解決問題。

（作者單位：廣東省茂名市第十五中學 525000）