匠心獨運，引導學生突破“等差數列”教學瓶頸

顧敏

在高中的知識體系中，等差數列是一個重難點，也是在教學的過程中一個經常出現的瓶頸。作為教師，不能固守傳統的教學方法，一味地講公式、做習題，而要獨運匠心，創新教學。本文以蘇教版教材為例，從三個方面淺議等差數列的創新教學實踐。

一、鏈接生活，生動導入

數學的眾多知識都是來源于生活，生活是生動的，數學是抽象的，可以說數學是生活實際的模型化。在實際的教學中，我們可以返璞歸真，將知識還原到生活中，通過知識鏈接生活，生動導入課堂。

必修五第二章開啟了數列的教學，數列就開始進入學生的視線。數列的概念比較簡單，但是變式復雜，有著多種多樣的變式。這時候就需要抓住本源，從根本處理解知識。在引入等差數列概念時，我選用了一個生活實例。王老板開了一家飯店，隨著事業的發展，他面臨一項投資的選擇。方案一：一次性投資5萬元，6年后收益12萬元。方案二：一次性投資7萬元，第二年收益1萬元，以后每年收益比前一年多0.5萬元。比較兩種方案。這一案例提出之后，引起了學生的積極討論，學生身臨其境，仿佛自己就是飯店老板一樣，都興致勃勃地想管理自己的“財富”。第一種方案的收益很明顯，利潤所得即為收益-投資=10-5=7萬元，這就作為一個比較標準，與方案二進行對比，關鍵要看方案二的收益模型。首先看6年后的收益，每年累計求和為1+1.5+2+2.5+3+3.5= 13.5萬元。那么6年之后所得利潤=13.5-7=6.5萬元，6.5萬元小于方案一中的7萬元。從相同的投資期來比較的話，方案一所得利潤更大。但是如果將方案二的投資期再延長一年，二者所得的利潤就相當了。如果再延長一年，方案二將超過方案一。方案二的增長模型就是一個等差數列，雖然起點低，增長慢，但是一直有增長，最終會取得一個數值很大的結果。

通過這樣一個貼近現實的例子，就生動地引出了等差數列的概念，并且隱含地帶出了數列求和的意義與需要。只將數列變成一列數字，其概念是晦澀難懂的，各種公式也將變成一種單純的數字符號，求和、變換等也將變得失去實際的意義。

二、自主歸納，深化意識

數列中最為重要的可以說就是求和公式了。但是如果公式只是要求學生進行背誦的話，容易造成遺忘，對學生自身的思維能力的提高也沒有積極的影響。因此，作為教師要善于“讓權”，引導學生自主總結歸納公式。

等差數列的公式比較簡單，適合學生自己去探索。在推導等差數列的前n項和的時候，我引入了一個經典的加法給學生啟示思路。題目是“1+2+3+…+98+99=？”這道題目我們在小學就曾經破解了。題目的解答是采取巧妙的方式，加法式中共有99項，第一個數與最后一個數相加的和是100，第二個數與倒數第二個數相加是100，以此類推。那么整個式子就可以歸結為49個100相加，再加上一個50，結果即為4950。那么這種思想就可以延伸到等差數列求和當中，學生以此為啟發探究等差數列的前n項和。我們記數列前n項和為Sn，首項為a1，公差為d。學生經過1到99加和的啟發，將前n項和相加分為了奇數項數和偶數項數兩種。對于偶數項數，正好分為 n個首末項相加的和，用符號表示即為Sn= n×（a1+an）= n（a1+a1+ （n-1）d）=na1+ n（n-1）d。對于奇數項數，則會多出來一項，這項是第

項。此時的求和則是Sn= （n-1）×（a1+an）+a（1+n）/2= （n-1）（a1+a1+ （n-1）d）+a1+ d=na1+ n（n-1）d，這時候學生就會發現雖然進行了分類討論，結果卻能統一，經過自身的推導，結論掌握的程度要超過教師講解。

數列的求和公式往往是能統一成相同形式的，但是數列的種類越積越多，僅僅憑借背誦記憶是很容易混淆的。正因為這樣，讓學生自己進行推導，掌握的知識就更加牢固，正所謂“授人以魚不如授人以漁”。

三、多元交流，引導反思

一個“1”再加一個“1”，結果是“2”；但是一種思想“加”另一種思想，結果可能就是很多種思想。所以說，學習中的交流是必不可少的，課堂上的交流不僅只是教師與學生之間，更應該普及在學生與學生之間。

以一道例題的討論為例。題干如下：已知等差數列的前5項和S5=10，前10項和為S10=30，求數列的前15項和S15。學生大多數采用的是先求數列的公差，然后求出首項，進而得出通項公式。有了通項公式，整個數列就相當于已知了，代入所求的前15項和的要求，問題即可解決。一般到了這里，問題就算結束了，但是此題還有更巧妙的解法，我沒有點破，只是讓學生各自結組討論。很快就有小組發現了，已知與所求的角標有著特殊的聯系，5，10，15構成了一組等差數列。該小組提出這一發現后，其他小組有意識地將結果進行橫向比較，回顧剛才的運算結果S15=60，大家發現S5，S10-S5，S15-S10也是呈等差數列分布的。一石激起千層浪，規律就這樣被發現了，進而又有其他小組借助這兩個小組的“科研發現”，找到了這種理論的依據，即為S5，S10-S5，S15-S10的意義是第一個5項和，第二個五項和，第三個五項和這樣分布的，這樣也構成了一個“大”的等差數列。

如果按照常規的解法，恐怕整個班級都要用同樣的傳統解法來解數列求和的題目。“眾人拾柴火焰高”，通過學生的多元交流，新的規律就可以被發現，新的方法就會被傳播，可以引發學生自我的反思與提高。

總之，數列教學需要教師化難為易，從生活入手；積極引導學生深入思考，學會自主歸納；支持學生多元交流，鼓勵方法的創新。只要教師勇于開拓反思，就一定能突破“數列教學”的瓶頸。

（作者單位：江蘇省平潮高級中學）