淺談經管類專業《高等數學》的教學感想

鄭敏

摘 要：高等數學是大學期間許多專業所必修的一門重要的基礎課程。文章主要結合自身針對經管類學生的高等數學教學實踐，從注重數學定義、傳授通用學習法、領悟實用性和借鑒翻轉式課堂教學模式這四個方面淺談如何講授能提高學生高等數學的學習效率和應用能力。

關鍵詞：高等數學；經管類；翻轉課堂；數學思想；數學建模

中圖分類號：O13 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）01-0062-03

Abstract： Advanced mathematics is an important basic course for many majors in college. Mainly combined with the author's teaching practice of this course for students majored in economics and management， this paper shallowly discusses how to improve students' learning efficiency and application ability of advanced mathematics from four aspects， including emphasizing on mathematical definitions， imparting general learning methods， apprehending the practicability and drawing lessons from the teaching mode of flipped classroom.

Keywords： advanced mathematics； economics and management； flipped classroom； mathematical thought；mathematical modeling

高等數學作為非數學專業的基礎課程，歷來深受重視。不單是理科專業的必修課程，更為許多文科專業所必修，甚至于某些如經濟類和管理類本科對高等數學的知識要求頗高。學好這門課不僅是專業需求，而且其蘊含的數學思想能讓學生獲益匪淺。然而，在大學生中，普遍存在“聞數色變”這一現象。因此，如何講授能提高學生高等數學的學習效率和應用能力？是值得深究的。

一、注重數學定義，方能使應用瀟灑自如

有別于中學數學，高等數學更注重要求學生掌握定義的本質，以便于后續在其他相關學科和相關課程的實際應用。在該學科的學習過程中，對數學定義的本質的理解，是使學生能迅速掌握其相關知識和靈活應用的重要前提。也只有真正掌握數學定義的本質，才能靈活地運用相關的數學工具解決實際問題。 因此，如何做好定義的講授至關重要。

例如定積分定義[1]P187-190講授。在具體介紹該定義之前，可舉幾個不同領域的問題，比如物理中變速直線運動的路程求解，經濟學中收益問題和數學中曲邊梯形的面積求解等。對這三個引例，引導學生思考“如直線運動若是勻速直線運動那路程便是速度乘以時間，那變速怎么做？經濟學中若商品價格不變，那么收益便是價格乘以數量了，那若是價格改變如何計算收益？數學中直線邊的圖形面積已能解決，那么曲線邊的圖形面積如何解決？”尋找規則問題與不規則問題的差異，獲得之間的聯系，從而得到解題思路，啟發學生發現雖其所涉及的領域不同，但解題思路均可歸納為四個步驟“分割——近似——求和——取極限”，進而引入定積分的定義。如此，學生對此定義便有了深刻的了解，既掌握了定義的本質，也學會了以規則問題的解決方法求解不規則問題的數學思想，對學生掌握定積分的應用有很大的幫助，就比如經濟學中的收益問題。事實上，定積分涉及極限概念的應用。因此，若是之前極限的概念教學效果好[2]，學生理解得好，那么在定積分的概念學習上就有幫助。

在經管類等其他相關學科學生的高等數學學習中，掌握好數學定義也能讓后續專業學習事半功倍。

比如在經濟學中的邊際函數[1]P145概念。其定義為已知經濟函數y=f（x）在區間I內可導，則稱導數f'（x）為y=f（x）的邊際函數。該定義很容易記住，但對于大一學生來說，總有個疑惑，為什么是導數？有什么用？因此，在講授該概念時可提醒學生回顧導數的定義思想為函數因變量增量與自變量增量之比的極限。從而，經濟函數的導數體現相關經濟量之間變化的相互影響情況。

由此可見，若能對數學概念理解透徹，那么相關學科的概念理解也能事半功倍。尤其對經管類等其他相關學科學生來說，理解好高等數學定義，能讓后續應用更加靈活。

二、循循善誘，激發興趣，傳授通用的學習法

很多學生可說是聞“數”色變。但數學真的難嗎？很多學生其實是望而生畏。

因此，在實際教學過程中，如何培養學生學習數學的信心是至關重要的。學生怕數學，主要是覺得它難，如果在實際教學過程中將難化易，信心自然就有了。

（一）“概念見面”輕松化，強調如何應用已有知識解決問題的數學思想

數學概念抽象嚴謹，在教授新概念時，學生很常有抵觸情緒。要是照本宣科，學生的第一反應可能就是不想聽。但如果這個“概念見面會”變得輕松自然，學生就有興趣了。比如在介紹無窮級數這個概念時，可設置提問引入，先問學生“1+2+3=？”，顯然這個大家都會，還是“小兒科”，如此一來，學生情緒就有點放松了。再問學生“1+2+3+4=？”，這個肯定也會，學生這會就有點被吸引了，會好奇老師到底想說什么了。接著問學生“1+22+31+45+56+62+……+100000=？”要很快得到答案就難了，提醒學生雖然難算，但是結果肯定是某個數，只是時間的問題。最后再問“1+2+3+4+5+6+……100000+……=？”啟發學生發覺這個求和與之前幾個例子的不同之處在于這個是可數無窮多個數的求和問題，這個結果到底存在不存在還未知？從而引入無窮級數這個概念，簡單說就是可數無窮多個數的求和問題。這樣一來，學生對于這個新概念就不會感到突然。而且在逐層遞進提問中，學生也一路被吸引著進入了主題。

而如何給出級數求和的定義，那么可引導學生回顧已掌握的數列前n項求和，再啟發學生發現前n項和，當n→∞即為級數，從而引導學生推導出級數求和的方法。這種回顧已掌握知識，尋求其與未解決問題二者聯系，進而求解未知問題的思考方式適合很多知識的學習，且行之有效，容易讓學生增加信心。

又比如在介紹定積分定義時，可以先引導學生回顧常見規則問題的解法，如“直線段長度怎么計算？正方形面積怎么計算？勻速直線運動路程怎么計算？”從而引導思考不規則問題的解法，如“曲線長度怎么計算？曲線邊圖形面積怎么算？”如此便能引起學生興趣。

當然，在介紹新概念時，若以相應的數學史作為引入背景[3]，學生聽得有滋有味，數學課也可講得精彩生動，不那么枯燥呆板。而現今多媒體的技術的輔助[3]，也能讓許多抽象的數學概念變得形象生動，超脫黑板的束縛，讓學生更有興趣聽講。

由此可見，在課堂教學中，采用以學生已熟練掌握的知識作為情境等多種手段教學，可以啟發大多數學生進行積極思考，調動同學們學習的積極性。

（二）“新舊”見面會，比較引入

在高等數學中，很多概念具有相似性。在教學中，若能善用此相似性，在傳授新知識時， 以舊知識為例，比較引入，也是個常用有效的方法。比如在二元函數f（x，y）當（x，y）→（x0， y0）時的極限的講授過程中，可先讓學生回顧一元函數f（x）當x →x0時的極限定義。一元函數的極限，通俗地說就是討論當自變量x無限趨近某個固定值x0時，因變量f（x）是否無限趨近于某個數。討論一個實數x的取值情況，可以利用其幾何表示（即每一個實數和實數軸上的每一點一一對應），那么從直線上便可看出，自變量x要趨近某個固定值x0，只能從x0點的左右兩邊沿直線趨近，和定義所述的|x-x0|<？啄對應。引導學生注意二元函數的極限思想與一元函數是一致的。只是此時一對自變量 （x，y）的取值在幾何上對應平面直角坐標系上的一點，點（x，y）要趨近點（x0，y0），就不再像一維時的左右直線趨近那么簡單，而是點（x，y）可以以任何方向沿任何曲線趨近（x0，y0），故而用點（x，y）屬于以點（x0，y0）為圓心？啄為半徑的去心鄰域■（（x0，y0），？啄）來描述。如此讓新知識看起來頗為“面熟”，使新概念在原有的認知結構基礎上更容易理解，從而使學生的思維很自然地步入新知識體系軌道中，同時為概念后續相關學習研究奠定基礎。

上述兩種講授方法在學習其他相關學科也是常用的有效方法，更是教給學生一種不論任何科目都可通用的學習方法。

三、引導學生感受高等數學對經管類專業的重要性，激發自主學習

對經管類學生而言，數學應用的重要性不言而喻。其很多課程都與之有關，比如數學建模類課程等。

相信大多老師在教授大一新生高數時都會發現，有些學生經常試圖用高中方法替代新授方法來求解問題，有些學生過于注重“應試”，從而對高等數學學習產生“無用論”的想法。如何激發學生對高等數學的自主學習？關鍵在于消除高數的“無用論”想法，讓學生意識到高等數學的重要性。因此，強調高等數學知識的應用性，讓學生深刻意識到其在相關專業中的數學建模作用[4]，尤為重要。

鑒于此，在講授過程中可結合相關經濟知識，適當引入經濟應用型題目，介紹學習高數知識的必要性，讓學生體會到高等數學知識對于后續課程學習奠基性的作用。

比如經濟函數的邊際函數值的經濟意義如何理解？對于這一點，若熟知導數和微分的關系以及微分的近似應用，便可輕松掌握其經濟意義。具體以關于產量Q的成本函數C（Q）為例，根據實際的經濟問題中，產量Q一般是一個比較大的量，則其增量△Q=1可看作一個相對較小的量，結合導數與微分間的關系，邊際成本C'（Q）的經濟意義便是如果已經生產了 個Q單位產品，在此基礎上，再生產一件產品近似需增加成本C'（Q）個單位成本。而這個數據對產商的生產計劃擬定是有幫助。若再結合其他函數極限等相關知識，小小的成本函數導數值C'（Q）可見生產函數的諸多端倪。

又比如為何要學習多元函數的微積分？在介紹這一章內容之前，可引發學生思考，在現實生活中，某個產品的利潤往往受產品價格、同類產品價格、人的收入等多個因素的影響。因此，若是想要更精確分析產品利潤變化情況，比起以價格為自變量利潤為因變量的一元函數，建立多元函數，其分析可更全面，更貼近實際。從而使學生重視該章內容的學習。

由此可見，唯有擺正學習目標性，對數學知識理解透徹，方可靈活借用相關的數學工具，建立合適的數學模型，做出合理的決策分析，在茫茫數據世界中，尋找出其規律性。

若能讓學生意識到這些，便可大大提高學生的學習積極性。

四、借鑒“翻轉課堂”教學模式，提高學生學習效率

近來，“翻轉課堂”這一顛覆傳統的教學模式，在教育行業引起不小的震動。何謂“翻轉課堂”[5]？傳統的教學模式是老師在課堂上講課，布置家庭作業，讓學生回家練習。而“翻轉課堂”式教學模式則是學生在家完成知識的學習，而課堂變成了師生之間和學生與學生之間互動的場所，包括答疑解惑、知識的運用等，真正做到“授之以漁”，強調學生的自主學習。

對高等數學的教學，由于種種原因，多采用傳統教學模式，而學生大多沒有課前預習習慣，往往承受不住兩節課滿滿的信息量，效果欠佳。我們需考慮多模式的教學方式。“翻轉課堂”就是個不錯的啟發。然而“翻轉課堂”教學模式雖然很好，但考慮到學生專業特色和課程特點，高等數學授課若完全照搬“翻轉課堂”，較難執行。注意到“翻轉課堂”突出的是“先學后教”的教育理念。因此，我們可以借鑒其理念，采取傳統教學和“翻轉課堂”教學模式相結合的方式進行教學。具體執行如下：第一、上課時在教授新知識之前，可先預留時間讓學生瀏覽課本內容，引導學生記錄下疑問點，在稍后講授過程中得以解惑。在此時間段內，老師巡視教室，分個體予以適當指導解惑，從中初步了解學生對本節內容的學習情況，便于后續課堂講授。該方法也給予學生上課的緩沖時間。若是上課鈴一響，馬上開始講授，很多學生都沒有進入狀態，而通常一時沒跟上則步步落。當然學生若能主動課前預習，針對疑問處可向老師尋求指導，后續聽講效果則更好。第二、例題講授部分，可補充些與課本例題相似題型的例題。如此，在新知識講授結束后，則可讓學生先自習課本例題，然后嘗試練習所補充的例題。與此同時，老師巡視教室，答疑解惑，后續再由老師統一講解，引導學生整理解題思路，糾正常見解題誤區。

上述兩個步驟，經實踐，既可全面提升課堂上的師生互動，方便老師在巡視過程中予以分層次答疑解惑，也可讓學生在“先學”的基礎上有針對性聽講老師的“后教”，大大提高學生的學習主動性和效率。

五、結束語

在多年的經管類專業高等數學教學中，作者深深感受到在授課過程中數學思想傳遞的重要性。在上述所列的四點感想中，本質上也是體現如何更好地在講授知識的基礎上讓學生明白學習不能流于知識表面，而應該懂得其內在隱含的數學思想。唯有此，才能做到“一通”而“百通”，才能靈活應用，進而感受到數學的美。

參考文獻

[1]劉浩榮，郭景德，蔡林福，等.高等數學（經管類）第2版（上冊）[M].上海：同濟大學出版社，2012.

[2]向彪.數學中極限定義教學的幾點思考[J].黔南民族師范學院學報，2012（4）：109-112.

[3]關文吉.淺談《高等數學》課的教學方法[J].首都師范大學學報（自然科學版），2015，36（4）：4-7.

[4]楊瑞蘭.談高等數學教學中數學建模思想的滲透[J].忻州師范學院學報，2005，21（2）：86-88.

[5]oxygen231.翻轉課堂式教學模式[DB/OL].http：//wenku.baidu.com/view/2e0ffa9a195f312b3169a55a.html，2015-09-01.