慎用“特殊點(diǎn)法”，解決線性規(guī)劃問題

摘 要：線性規(guī)劃是通過數(shù)形結(jié)合方法來解決日常生活實(shí)踐中的最優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，其核心是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求目標(biāo)函數(shù)的最值問題（其中有一個重要的過程就是可行域的作法）具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。在高考中屬于必考內(nèi)容，多以選擇填空題的形式出現(xiàn)。這部分內(nèi)容在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法，也學(xué)習(xí)了運(yùn)用二元一次不等式（組）刻畫平面區(qū)域，具備了相關(guān)知識的儲備。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；數(shù)形結(jié)合；最值問題；特殊點(diǎn)法

在線性約束條件下，尋求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，稱為“線性規(guī)劃問題”。一般采用“圖解法”：先作出約束條件表示的平面區(qū)域，而后根據(jù)“目標(biāo)函數(shù)”的特征，必要時結(jié)合其“幾何意義”進(jìn)行求解。因?yàn)橐白鲌D”，故解題速度明顯受到制約.因此，在實(shí)際練習(xí)或考試中，很多學(xué)生熱衷于使用“特殊點(diǎn)法”，以求避開作圖，快速解出答案。如：

例1、已知點(diǎn)在不等式組表示的

平面區(qū)域上運(yùn)動，則的取值范圍是（ ）。

（A）[-2，-1] （B）[-2，1]

（C）[-1，2] （D）[1，2]

解法一：常規(guī)做法是利用直線的截距解決最值問題

解析：由線性約束條件畫出可行域如圖1，考慮，把它變形為，這是斜率為1且隨z變化的一族平行直線.是直線在y軸上的截距。當(dāng)直線滿足約束條件且經(jīng)過點(diǎn)（2，0）時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值為2；直線經(jīng)過點(diǎn)（0，1）時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值為-1.故選（C）.

解法二：很多學(xué)生熱衷于使用“特殊點(diǎn)法”，以求避開作圖，快速解出答案。

解析：求出三條直線交點(diǎn)，求出三個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目標(biāo)函數(shù)，比較可知z=x-y分別在點(diǎn)（0，1），（2，0）取得最小值為—1，最大值為2，求出z=x-y的取值范圍為[1，2]，更為簡單。

點(diǎn)評：解法二即為“特殊點(diǎn)法”，顯然較之“圖解法”來說，因?yàn)楸荛_了作圖，大大提升了解題速度.此乃“特殊點(diǎn)法”的最大優(yōu)點(diǎn)。

線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，往往是平面區(qū)域的“某個頂點(diǎn)”，由此產(chǎn)生了規(guī)劃問題的“特殊點(diǎn)法”。這種方法是先求出邊界直線的所有交點(diǎn)，再代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算結(jié)果，比較大小得出答案.當(dāng)然不能否認(rèn)這種方法有時候的確很好用，但是也應(yīng)該看到該解法，受到很多因素限制，缺乏完備理論支撐，可謂“四肢不健全”，因此有“諸多不宜”，會時常失效。

筆者歸納以下幾方面不能用“特殊點(diǎn)法”

一、當(dāng)邊界直線的個別交點(diǎn)不在約束條件所表示的平面區(qū)域內(nèi)時，不宜使用“特殊點(diǎn)法”

例2：設(shè)變量x，y滿足則的最大值為

________

點(diǎn)評：本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？ 求出三條直線的交點(diǎn)分別為（0，1），（0，-1），（1，0），代入目標(biāo)函數(shù)比較可知在點(diǎn)（0，1）得到最大值2.可是利用圖解法作出不等式所表示的平面區(qū)域，你就會發(fā)現(xiàn)：此時點(diǎn)（0，1）不在平面區(qū)域內(nèi)，換句話說，它不可能是最優(yōu)解了，所以不宜使用“特殊點(diǎn)法”。

二、當(dāng)約束條件中含有非線性條件時，不宜使用“特殊點(diǎn)法”

例3.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最

大值是________

點(diǎn)評：本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？因?yàn)榧s束條件中含有非線性條件二元二次不等式，畫出平面區(qū)域可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最大值時，直線與圓相切于第一象限.所以目標(biāo)函數(shù)取到最大值的最優(yōu)解并不是邊界直線的交點(diǎn).因此，不宜用“特殊點(diǎn)法”。

三、當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性時，不宜使用“特殊點(diǎn)法”

例4.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小

值是________

點(diǎn)評：本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是非線性的，其幾何意義為：平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.畫出平面區(qū)域，過原點(diǎn)作直線的垂線，可知當(dāng)點(diǎn)為垂足時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值時，只須求出原點(diǎn)到直線的距離，再平方可得目

標(biāo)函數(shù)的最值為.由此可見目標(biāo)函數(shù)取到最小值的最優(yōu)解并不是邊界直線的交點(diǎn).于是用特殊法就會出錯！

例5.已知實(shí)數(shù)滿足，則z=xy的最

大值是________

點(diǎn)評：本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是非線性的，出現(xiàn)“乘積”形式，目標(biāo)函數(shù)z=xy可轉(zhuǎn)化

為，表示雙曲線.畫出平面區(qū)域，當(dāng)曲線與直線相切于點(diǎn)（4，4）時，目標(biāo)函數(shù)z=xy取得最大值16.由此可見目標(biāo)函數(shù)取到最大值的最優(yōu)解并不是邊界直線的交點(diǎn)。于是用特殊法就會出錯！

四、當(dāng)出現(xiàn)求目標(biāo)函數(shù)取值范圍時，用特殊法很難判斷范圍，不宜使用“特殊點(diǎn)法”

例6.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值

范圍是________

點(diǎn)評：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時，可把z看作是動點(diǎn)

與定點(diǎn)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。

本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)是非

線性的，目標(biāo)函數(shù)表示平面區(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)（0，-1）連線的斜率，求出邊界直線的交點(diǎn)（0，0）、

（1，1）、（-1，1），容易知道在點(diǎn)（1，1）、（-1，1）處取到臨界值2.-2，但用特殊法容易誤認(rèn)為[-2，

2]而發(fā)生錯誤.畫出平面區(qū)域，可知取值范圍為。

五、實(shí)際應(yīng)用題整點(diǎn)調(diào)整法，不宜使用“特殊點(diǎn)法”

例7.某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小。

點(diǎn)評：本題不宜用“特殊點(diǎn)法”，原因何在？ 因?yàn)樵诠こ淘O(shè)計(jì)、經(jīng)營管理等活動中，經(jīng)常會碰到最優(yōu)化決策的實(shí)際問題，而解決此類問題一般以線性規(guī)劃為其重要的理論基礎(chǔ)。然而在實(shí)際問題中，最優(yōu)解（x，y）通常要滿足x，y∈N，這種最優(yōu)解稱為整點(diǎn)最優(yōu)解，求出來的交點(diǎn)坐標(biāo)如果不是整數(shù)，就不能在端點(diǎn)取得最優(yōu)解，要畫出區(qū)域，在求出來的交點(diǎn)處附近找整點(diǎn)最優(yōu)解。

解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，所用原料的總面積是zm2，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y，

線性約束條件作出可行域.

作一組平行直線3x+2y=t

點(diǎn)A不是整點(diǎn)，A不是最優(yōu)解.在可行域內(nèi)的整點(diǎn)中，點(diǎn)B（1，1）使z取得最小值.z最小=3×1+2×1=5，

答：用甲種規(guī)格的原料1張，乙種原料的原料1張，可使所用原料的總面積最小為5m2.

從以上幾種情況可發(fā)現(xiàn)：用特殊點(diǎn)法解規(guī)劃問題，的確有“諸多不宜”，做對答案也帶有一些“運(yùn)氣”成分.因此我們在遇到“線性規(guī)劃”的題目時，還是要以“圖解法”為根本，從提高作圖的速度與規(guī)范性方面加強(qiáng)訓(xùn)練才是正道.而對于“特殊點(diǎn)法”要慎重選擇，因?yàn)楸揪筒浑y的題型，只為追求解題速度而增加做題風(fēng)險，到頭來反而容易落個“得不償失”。

作者簡介

黃春華，女，福建南安，中學(xué)高級，本科學(xué)歷。

（作者單位：福建南安市詩山中學(xué)）