行星運動研究及引力公式推導時涉及的若干問題

王興臣

【摘 要】本文討論了開普勒定律及引力公式教學中涉及的參考系問題、質點模型問題，結合天文觀測資料探究了行星運動勻速圓周運動模型的建立；并討論了推導行星對太陽的引力關系時涉及的一個哲學問題，以期對突破教學難點有所幫助。

【關鍵詞】參考系；質點；圓周運動；模型；難點突破

如果說普朗克的量子理論及稍后建立的量子力學提供了人類通向微觀世界的金鑰匙的話，那么開普勒行星運動三定律以及牛頓的萬有引力定律無疑是將人類的認識視角由地球引向了廣袤無垠的浩瀚星空！對太陽系的認識探索是現代人類走向宇宙的基礎，可見開普勒定律及萬有引力定律在高中物理教學中的重要地位。新課標人教版高中物理必修2第六章“曲線運動和萬有引力”一章給學生提供了體驗人類認識宇宙的機會，同時也搭建了學生歷練探究本領的平臺。本文就該章節中涉及到的幾個典型問題討論如下。

1.關于開普勒行星運動三定律所涉及的參考系問題。研究機械運動離不開參考系的選取。在開普勒提出行星運動三定律以后，“地心說”已逐步淡出歷史舞臺，而哥白尼的“日心說”則逐漸被人們廣泛接受。從天文尺度看，太陽系相對于近鄰恒星運動速度是很小的，這樣在研究太陽系時，人們自然地接受了太陽中心作為參照物。確切地說是選擇了“日心—恒星”參考系—在這個參考系中，認為太陽靜止不動，行星圍繞太陽中心做橢圓軌道運動。

2.關于質點模型的建立。下面是太陽系八大行星資料數據表。在2006年8月24日于布拉格舉行的第26屆國際天文年會通過了第5號決議：冥王星被降等為矮行星，從太陽系九大行星序列中被除名。

對照資料圖可知，太陽與行星間的距離是行星尺寸（直徑）的倍數在5440～90930之間；而太陽與行星間的距離是太陽尺寸的倍數則在41～3217之間。結合天體質量分布的球對稱性，我們有理由將太陽跟行星都視作質點。

3.圓周運動模型的建立。開普勒三定律揭示了太陽系的行星繞太陽做橢圓軌道運動，也符合天文觀測實際。問題在于，高一學生并不具備研究橢圓運動的數學和物理基礎。因而有必要對橢圓軌道進行簡化，以利于學生進一步學習。那么將橢圓軌道簡化為圓軌道可行嗎？我們來考查太陽系八大行星橢圓軌道的偏心率數據。

可見，除了水星之外，其它七大行星橢圓軌道偏心率都非常接近于零。而偏心率越小意味著軌道越接近于圓形，因此可以將行星運行的橢圓軌道近似為圓形軌道。至于水星，其軌道偏心率較大，與圓形相去較遠。這是由于水星距太陽太近，受到強引力的緣故，嚴格來講其運動應該受廣義相對論理論的規范。這也意味著高中學習階段涉及的通常都是弱引力作用，如同其它七大行星那樣。初學時，作為近似仍將水星軌道視為圓形。

那么能將行星的圓周運動進一步簡化成勻速圓周運動嗎？這一點利用開普勒第二定律不難做到。根據開普勒第二定律，太陽與行星連線在相等時間內掃過的面積相等。在將行星運行軌道視為圓形時，實際上就可理解為太陽與行星的連線在相等時間內掃過相等的圓弧長度，因而行星的圓周運動自然就可以視作“勻速圓周運動”了。

經過上述系列簡化，就將行星的運動轉化為學生容易入手的勻速圓周運動了。

4.關于推導“太陽與行星間引力公式”時涉及的一個教學難點

開普勒行星運動三定律只是從運動學角度詮釋了行星運動的規律，行星為什么只能按照開普勒三個定律所描述的橢圓軌道方式運動，而不是按照別的什么方式運動。也就是說，開普勒定律并沒有揭示行星運動的動力學根源。牛頓集前人研究之大成，指出了行星運動的動力學根源：在于太陽與行星之間的源自于質量的引力作用，從而建立了引力定律。

在推導“太陽對行星的引力關系”時，基于前述簡化而來的勻速圓周運動模型，利用周期形式的向心力公式、結合開普勒第三定律，容易得到太陽對行星的引力與行星質量成正比、與行星到太陽距離的二次方成反比。而在推導“行星對太陽的引力”關系時，通常都采用類比方法：基于牛頓第三定律，通過類比得到行星對太陽的引力與太陽質量成正比、與太陽到行星距離的二次方成反比。

上述推導方法看起來順理成章，但也回避了一個教學難點。因為許多學生會提出另外一種不同的類比方法來推導“行星對太陽的引力”關系：以太陽作為受力天體，假設使太陽繞使力行星做勻速圓周運動，豈不是也可以得出“行星對太陽的引力與太陽質量成正比、與太陽到行星距離的二次方成反比”的結論嗎？

其實這里涉及到了一個帶有思辨性的物理問題，也可以說是一個重要的哲學問題。若假設讓太陽繞行星做圓周運動，就會導致“地心說”的復活，從而顛覆“日心說”，導致錯誤的宇宙觀！因而學生的上述推導思路在邏輯上是不可想象的，這一點應該在教學中間大膽地指出來，以幫助學生正確世界觀的建立。這也是“情感態度價值觀”教學目標的要求！

以上是筆者結合教學實踐得出的些許體會，在此提出，以期共勉。

【參考文獻】

[1]程守洙，江之永主編.普通物理學（第五版）1，高等教育出版社，1998.06