從印度乘法口訣想到的數學教育問題

鄢青云+張弦

摘 要 從印度乘法口訣的教育中得到啟發，再結合本人從教三十多年的經歷，覺得簡化數學教育，對于非數學專業的學生來說，是當務之急，他們沒必要花大量的時間用在“為什么”上，而是需要懂得“怎么用”“如何用”。

關鍵詞 創新 簡易 直觀 易懂

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A

一個偶然，看到關于印度人教乘法的方法，大概的意思是：1919以內的乘法問題，可以分解為四步走。舉個例子，問：1716=？，為了算出它的結果，第一步：17+6=23；第二步：2310=230；第三步：7+6=13；第四步：230+13=243，這就是最終結果。表面上，一個乘法問題分解為四步做變復雜了，實際上，它是把高級運算轉化為低級運算，而人類擅長的是低級運算，從而使人們可以進行口算。這種方法的使用，不僅可以口算1919以內的乘法，而且可以推廣。比如：1234=？

從上面的圖示讀者不難看出，1234=408，這樣的運算很神奇。再比如：9897=？

顯然，9897=9506，這兩個乘法問題都滲透了加減運算，為什么可以將乘法轉化為加、減法來做？它是有數學上的理論依據的，它的依據就是巧妙地利用公式（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，盡可能地將乘法問題轉化為加、減法，從而達到口算的目的。

其實，數學上有許多趣題，不用傳統的數學方法，而是將它回歸到生活中，用一種解說的方式找到正確答案。比如：“雞兔同籠”問題，說的是在一個籠子里住著100只兔子和雞，告訴你共有320條腿，問兔子有多少只？雞有多少只？這個數學問題，用方程來解，可以解出結果，但是有點繁瑣。有種方法直接、簡單，而且還很生活。其解題思路是從上往下思索，100個頭下都是4條腿的一定是兔子，這樣應該有400條腿，而事實上，只有320條腿，多算了400-320=80條腿，這多出來的80條腿，是把雞當成兔子來算，這時我們就要卸掉2條腿，每卸一次，就把兔子轉化為雞，卸幾次，就有幾只雞，于是，雞有802=40只，兔子有100-40=60只。

上述解說，讀者可能認為有道理，也算是簡易解法了。沒有最好，只有更好，同樣的問題，不同的思路，決定著解題的難易程度。還是上面的“雞兔同籠”問題，我們來個從下往上思索，看效果如何？想像一下，你面前站著100只雞和兔子，你手上拿著一把神奇的刀，砍下去對動物沒有生命威脅，這時，你對每只動物砍掉兩條腿，雞全部趴下了，而兔子依然還可以站著（4條腿的兔子拿掉2條腿，還有2條腿撐著），于是，兔子有：（320-2100）2=60只，雞有100-60=40只。

印度人在進行小學生乘法口訣的教育上，應用的是初中才能學到的乘法運算法則，而他高明的地方就在于，拋棄理論，并將理論直接轉化為方法。而我國小學生的乘法口訣定格在九九乘法表上，豎式、進位求乘法，雖然一本萬利，但嚴重阻礙了學生的計算能力，這種教育上的差距不是一般的大呀。

再來看看極限概念的定義，純數學理論習慣于用“€%^-€%]”語言來描述，但對于大部分非數學專業的學生來說，他們不需要知道“為什么？”，他們需要的是如何方便快捷地“怎么用？”。印度人教乘法的方法值得我們借鑒。實際上，數學上的許多知識，我們是可以做些轉換的。

“極限”的概念”語言晦澀難懂，對某個函數來說，如果當自變量變化的時候，因變量呈現“無限逼近某一個常數”的特征，那么我們就說該函數存在極限。這種形象化的語言，學生更容易接受，如果再配上圖形，效果更佳。

顯然，由圖1知： arctanx=，arctanx=，arctanx不存在；而圖2顯示，當自變量x→∞時，函數→0，于是有=0，這樣借助圖形理解極限概念，簡單直觀得多。當然，計算極限值，我們有一整套的理論體系，總結起來，大體有五條路可行：第一條路，f（x）=f（x0），這條路有兩個缺陷，一是x必須趨近于某個實數x0；二是x0必須是f（x）定義域里的點，假如不是，進入第二條路：x0代入到f（x）中，造成分母為0，這時就看分子，分子的結果不外乎兩種情形0或非0，為了敘述方便起見，我把它記著型或（A≠0）型，對于型，可用洛必達法則、無窮小的等價代換等方法，而（A≠0）型的結果只有一個，那就是無窮大。第三條路是專門針對x→∞的情形，當x→∞時前兩條路都行不通。這時使用洛必達法則是很有效的，或者盡可能制造（€%Z>0），再配合極限的四則運算法則來完成，效果奇佳。第四條路使用公式：（1+）x=e或（1+x）=e，該公式的特點是底與指數都是關于x的表達式。第五條路依據“有界函數與無窮小的積是無窮小”，此法不需要解題過程直接寫出結果，如：x2cos=0，計算極限問題，有了這五條路做為行動方向，紛繁復雜的極限問題變得明朗了許多。我想，這就是教育工作者常應思索的問題。

數學有許多定理，死記硬背不可取，理解的基礎上記憶，效果好。如果再滲入方式方法的應用，那將是根深蒂固的。在刻畫曲線凹凸問題時，有個判斷定理：設函數y=f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內有一階和二階導數，則若在（a，b）內y''>0，則曲線y=f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；若在（a，b）內y''<0，則曲線y=f（x）在[a，b]上的圖形是凸的。文字很長，看下面兩圖的嘴型，便一目了然。

兩張臉譜，就能表達一個數學定理的核心思想，我就在想，我們可以進行大膽創新，將幾千年的數學文化變得直觀、簡易、好懂。與時俱進，共同創造高效、有趣的生活。讓數學更接地氣，讓人們不再覺得數學高不可攀。