von Neumann 代數上的非線性保持*-Lie積的雙射

余維燕

(海南師范大學 數學與統計學院，海口 571158)

von Neumann 代數上的非線性保持*-Lie積的雙射

余維燕

(海南師范大學 數學與統計學院，海口 571158)

設M,N是復Hilbert空間H上的因子von Neumann代數,且dim H≥2.本文證明了對任意的A,B∈M，滿足條件φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*的雙射φ：M→N是一個線性或共軛線性的*-同構.

非線性保持；*-Lie積；von Neumann代數

0 引 言

在近二十年，保持算子或矩陣某些特定性質或關系不變的線性或可加映射的研究引起許多學者的關注(見文獻[1-9])，所得到的結果從新的方面揭示了算子代數的代數與幾何結構.最近幾年，一些學者開始研究一些非線性的保持算子某些特定性質的映射(見文獻[10-15]).文獻[11-13]中，作者刻畫了非線保持Lie乘積的映射.本文我們主要研究因子von Neumann代數上的一類非線性保持乘積XY-YX*(*-Lie積)的映射.我們知道映射X→XY-YX*也是一個Jordan*-導子([16]).

設H是復Hilbert空間.B(H)表示H上的有界線性算子，M?B(H)是一個von Neumann代數.如果M的中心是I,其中I是M的單位元，則稱M是一個因子von Neumann代數.對任意的X，Y∈M,記{X，Y}=XY-YX*.設Msa是M的自伴算子空間，P(M)表示M的非平凡正交投影集.

1 主要結果

在這一部分，我們主要證明以下結果：

定理2.1 設H是復Hilbert空間且dimH≥2,M,N是H上的因子von Neumann代數.若對任意的A,B∈M,φ:M→N是滿足條件φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*的雙射(非線性)，則φ是一個線性或共軛線性*-同構.

為了證明定理2.1，需要證明一些引理.以下設M，N是復Hilbert空間H(dimH≥2)上的因子von Neumann代數，φ:M→N是雙射且對任意的A，B∈M滿足條件

φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.

(1)

引理2.1φ(0)=0；φ(Msa)=Nsa;φ(I)=I;φ(P(M))=P(N).

證明 因為φ是滿射，則有B0∈M使得φ(B0)=0.從而

φ(0)=φ(0B0-B00*)=φ(0)φ(B0)-φ(B0)φ(0)*=0.

對任意的B∈M,有φ(I)φ(B)-φ(B)φ(I)*=φ(IB-BI*)=φ(0)=0.從而存在λ0∈/{0}使得φ(I)=φ(I)*=λ0I.設A∈Msa,則有

因此φ(Msa)?Nsa.同理,對φ-1,有Nsa?φ(Msa),故φ(Msa)=Nsa.

設λ∈，則對任意A∈Msa,有

φ(A)φ(λI)-φ(λI)φ(A)=φ(A(λI)-(λI)(A))=φ(0)=0.

從而由φ(Msa)=Nsa可得φ(λI)∈I,故φ(I)?I.同理，對φ-1可得I?φ(I).因此φ(I)=I.

設P∈P(N)且有A∈M使得φ(A)=P.則對A∈Msa且B∈M有

φ({A,{A,{A,B}}})={P,{P,{P,φ(B)}}}={P,φ(B)}=φ({A,B}),

由φ是滿射可知{A，{A，{A，B}}}={A，B}，即對任意的B∈M,有

A3B-3A2BA+3ABA2-BA3=AB-BA.

(2)

另一方面，對任意的B∈Msa，有

φ({{A,B},A})={{P,φ(B)},P}={P,φ(B)}=φ({A,B}),

從而{{A，B}，A}={A，B}，即對任意的B∈Msa,有A2B-BA2=AB-BA.因此存在λ1∈,使得A2=A+λ1I.由此式與式(2)，對任意的B∈M，有4λ1(AB-BA)=0.

(3)

因為φ(I)=I且φ(A)=P?I,則存在B∈M,使得AB-BA≠0.由式(3)可得λ1=0,從而A=A2=A*∈P(M).同理,對φ-1,可證得φ(P(M))?P(N).從而φ(P(M))=P(N).證畢.

現在，我們選擇一個投影P1∈P(M)且P2=I-P1.設Qi=φ(Pi),i=1，2.由引理2.1,Qi∈P(N),i=1,2.因為對任意的B∈Msa,有{Q1，φ(B)}={φ(B),Q2}，故Q2=I-Q1.記Mij=PiMPj且Nij=QiNQj,其中i，j=1,2.則有以下引理.

引理2.2 設Xll∈Mll.若對任意的Til∈Mil,有TilXll=0,則Xll=0.

證明 顯然.

引理2.3 設i,j=1,2且i≠j.則有φ(Mij)=Nij.

證明 設A∈Mij,由A={Pi,A}={Pi，{Pi,A}}可得

φ(A)=Qiφ(A)Qj-Qjφ(A)Qi

與

φ(A)=Qiφ(A)Qj+Qjφ(A)Qi,

以上兩式相加可得φ(A)=Qiφ(A)Qj.從而有φ(Mij)?Nij.對于φ-1，同理可證Nij?φ(Mij).因此φ(Mij)=Nij.證畢.

引理2.4 設i,j,k,l=1，2.則對任意的Aij∈Mij與Bkl∈Mkl,有φ(Aij+Bkl)=φ(Aij)+φ(Bkl).

φ(TX-XT*)=φ(TAij-AijT*)+φ(TBkl-BklT*)

(4)

與

φ(TX-TX*)=φ(AijT-TAij*)+φ(BklT-TBkl*).

(5)

情形1 若i=j且k≠l,則有k=i,l≠i或l=i,k≠i.

從而

故對任意的Til∈Mil,有φ(XiiTil)=φ(AiiTil),從而Xii=Aii.因此φ(Aii+Bil)=φ(Aii)+φ(Bil).

對l=i,k≠i,可類似證明結論也成立.

情形2 若i≠j且k≠l,則k=j,l=i或k=i,l=j.

對k=j,l=i,在式(4)中取T=Pi,可得φ(Xij-Xji)=φ(Aij)+φ(-Bji).從而φ({Pi,Xij-Xji})=φ({Pi,Aij})+φ({Pi-Bji}).即,

φ(Xij+Xji)=φ(Aij)+φ(Bji).

(6)

在式(5)中分別用Pi和Pj代替T，可得

與

由此可得Xji=Bji且Xij=Aij.由式(6)可知，φ(Aij+Bji)=φ(Aij)+φ(Bji).

當k=i,l=j，有

由情形1，及φ(Mij)=Nij,有

從而φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

情形3 若i=j且k=l,則i=k或i≠k.

φ(Xii)=φ(Aii)+φ(Bii).

(7)

在式(5)中用Tis替換T，則有

φ(XiiTis)=φ(AiiTis)+φ(BiiTis)=φ(AiiTis+BiiTis),

從而Xii=Aii+Bii.由此式與式(7)可得φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

當i≠k,在式(4)中取T=Pi，則φ(Xik-Xki)=0,故Xik=Xki=0,從而X=Xii+Xkk.在式(4)與式(5)中分別取T=Tik，可得

與

從而對任意的Tik∈Mik,有

(8)

與

(Xii-Aii)Tik=Tik(Xkk-Bkk)*.

(9)

由式(8)或得Xkk=Bkk,再由式(9)可得Xii=Aii.故φ(Aii+Bkk)=φ(Aii)+φ(Bkk).證畢.

(10)

在式(10)中取T=P1，由引理2.3可得

φ(X12-X21)=φ(A12)+φ(-A21)=φ(A12-A21),

由此可得X12=A12,X21=A21,故X=X11+A12+A21+X22.在式(10)中分別用T12與T21替換T，則有

與

即

與

因此，對任意的T12∈M12，有

(11)

且對任意的T21∈M21，有

(12)

引理2.6 對任意的A，B∈M,有φ(A+B)=φ(A)+φ(B).

由引理2.6及φ(I)=I可知，存在可加的雙射ρ∶→，使得對任意的λ∈且ρ(1)=1，有φ(λI)=ρ(λ)I.

引理2.7 對任意的A∈M與λ∈,有φ(λA)=ρ(λ)φ(A).

證明 設x∈是任意實數，則有

-2ρ(x)I=φ((ixI)(iI)-(iI)(ixI)*)=2ρ(ix)ρ(i)I.

從而對任意的x∈,有

ρ(ix)ρ(i)=-ρ(x).

(13)

對任意的A∈M,有

特別，有φ(-iA)=-ρ(i)φ(A)與φ(xA)=ρ(ix)φ(-iA).由此結果與式(13)可知，對任意的x∈與A∈M,有φ(xA)=ρ(x)φ(A).因此對任意的λ=x+iy∈(x,y∈)及A∈M,有

φ(λA)=φ(xA)+φ(iyA)=ρ(x)φ(A)+ρ(iy)φ(A)=ρ(λ)φ(A).

引理2.8φ是線性映射或共軛線性映射.

證明 由引理2.6與2.7，只需證ρ是恒等映射或共軛恒等映射.由ρ的可加性可知，對任意有理數r，有ρ(r)=r.由引理2.6可知，對任意的λ,β∈,有ρ(λβ)=ρ(λ)ρ(β)，又因為φ(Msa)=Nsa,則若ρ(λ)>0當且僅當λ>0.從而對有理數r與實數x,y，當|x-y|

定理2.1的證明 由ρ(i)2=-1,對任意的A，B∈M,由引理2.7可知，

再由定理2.1所給條件可知，

φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.

由以上兩式及引理2.6可知,對任意的A，B∈M，有

φ(AB)=φ(A)φ(B)

(14)

與

φ(BA*)=φ(B)φ(A)*.

(15)

在式(15)中取B=I，可得φ(A*)=φ(A)*,從而φ是一個線性或共軛線性*-同構.

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(編校：吳炎)

Nonlinear Maps Preserving *-Lie Productson Factor von Neumann Algebras

YU Wei-yan

(College of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China)

Let M and N be factor von Neumann algebras acting on a complex Hilbert space H with dim H≥2.We prove that every bijective map φ∶M→N satisfying φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*for all A,B∈M is a linear or conjugate linear *-isomorphism.

nonlinear preserver;*-Lie products; von Neumann algebra.

格式：余維燕.von Neumann代數上的非線性保持*-Lie積的雙射[J].海南熱帶海洋學院學報,2017，24(2)：34-38.

2017-03-11

國家自然科學基金資助項目(11461018);海南省自然科學研究計劃資助項目(20151012);海南省教育廳高校科研項目(hjkj2014-16)

余維燕(1969-),女,四川資中人,海南師范大學數學統計學院副教授,博士,研究方向為算子理論與算子代數.

O177.1

A

2096-3122(2017) 02-0034-05

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.02.07