淺談正比例和反比例的判斷方法

李秋云

在小學六年級數學第十二冊正、反比例意義教學中，我發現學生雖然初步理解了正比例和反比例的意義，學會判斷正、反比例的量，但是對正、反比例的概念和判斷學生是比較混淆和出錯的。正確判斷正、反比例關系是對比例意義的進一步運用，也是解答比例應用題的基礎和關鍵。那么如何準確判斷兩種量是否成比例，成什么比例？我認為應該從以下幾個方面入手。

一、分清三種量

首先要弄清兩種量是不是相聯的量，那種量是固定不變的量，“相關聯”是什么意思呢？顧名思義，“相關聯”就是有聯系，有關系。即一種量的變化會引起另一種量的變化。如速度和里程是有聯系有關系的：功效和時間、長方形的面積和它的寬等都分別是相關聯的量。路程和功效就不是相關聯的量，因而久談不上什么比例關系。圓的周長=直徑×π，其中π就是固定不變的量。李叔叔從家到工廠，騎自行車的速度和所需的時間成什么比例判斷中，其中從家到工廠的路程是固定不變的量，騎自行車的速度和所需的時間是兩種相關聯的量。例如：圓的周長一定時，直徑和圓周率學生會誤認為反比例。其實不是，這是因為周長一定，圓周率本身就一定，這三個量都成了定量，就不是比例關系了。圓的周長=直徑×圓周率。所以正確的說法是圓的周長跟直徑成正比例，這里圓的周長不一定。

二、列出關系式

看兩種相關聯的量是否存在著商或積的關系。這是判斷正、反比例的核心所在，成正、反比例的兩相同之處都是一種量變化，另一種量也隨著變化。不同之處是正比例變化方向相同，反比例變化方向相反，正、反比例關系式不相同，正比例是比值（也就是商）一定，反比例是積一定。例如“蘋果的單價一定，購買蘋果的數量和總價是否成正比例”，這是因為：“總價/數量=單價（一定）”，所購買蘋果的總價和數量成正比例關系。又如：“平行四邊形的面積一定時，它的底和高是成什么比例？”我們稍加分析就得出：“底×高=平行四邊行的面積（一定），”所以說底和高成反比例關系。例如：“正方形的邊長和它的面積是否成比例。”從表面上看，正方形的面積是隨著正方形邊長的擴大（或縮小）而擴大（或縮小）的，但是根據：S=a2得出：“S/a=a”，這里的邊長a是一個變量，所以不符合正比例關系特征。又例如：“圓的面積和半徑是否成正比例”，乍一想，圓的面積隨半徑擴大（或縮小）而擴大（或縮小），但是根據：S=πr2得出S/r=πr，因為半徑r不一定，所以πr就不一定，而S/r2=π（一定），因此，我們說，圓的面積和半徑不成正比例關系，而是圓的面積跟半徑的平方才成正比例關系。

三、要找準常量

常量就是比例關系中的定量，這種現象在面積，體積等公式中經常會出現。例如：三角形的面積一定時它的底和高成什么比例？因為S=ah，公式中的給學生判斷增加了難度，但是公式稍作變換可以得出ah=2S，因為S一定，即“2S”也一定，所以底和高成反比例關系。

四、等式非乘或除，不存在比例關系

有些相關聯的量，雖然也是一種量的變化，另一種量也隨著變化，但兩種量中的相對應的兩個數的比值或積也不一定，就不成比例，如人的身高和體重就不成比例，又例如：“播種的總公頃數一定，已經播種的公頃書和剩下的公頃數是不是成反比例？”我們知道，播種的總公頃數一定，已經播種的越多，剩下的就越少，它們是相關聯的量，但是二者的關系是：已經播種的公頃書+剩下的公頃數=要播種的總公頃數（一定），它們的和一定，而不是積一定，所以它們不是反比例關系。因此不能把“增加或減少”誤認為是“擴大或縮小”。

五、乘除有機結合，判斷正、反比例

因為乘法和除法是互為逆運算，由“因數×因數=積”可得出 “積÷因數=因數”。所以正、反比例可以統一為一個式子：因數×因數=積，如果積一定，兩個因數就成反比例關系。其中一個因數一定，積和另一個因數成正比例關系。例如：“速度×時間=路程”關系式中，路程一定時，速度和時間的積就一定，所以速度和時間成反比例：時間一定時，路程和速度的商就一定，它們就成正比例關系。

總而言之，對正、反比例額判斷一定要根據它們的意義來判斷。教學中教師要充分調動學生學習的主動性，培養學生思維的靈活性，引導學生從不同角度，不同側面去思考問題，探究其中的規律，培養學生創新思維的能力。