文科生如何破解幾何概型問(wèn)題

許建仙

摘 要：分析了幾何概型題目的特點(diǎn)，通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明文科的學(xué)生如何領(lǐng)會(huì)解決幾何概型的概率題目。通過(guò)一題多變，使學(xué)生清楚地知道此類(lèi)問(wèn)題的條件及解題的方法。

關(guān)鍵詞：幾何概型；等可能；高中數(shù)學(xué)

新課程改革之后，作為新增的知識(shí)——幾何概型，已經(jīng)越來(lái)越受到業(yè)內(nèi)人士的關(guān)注。無(wú)論是高考還是平時(shí)的模擬考試，它總會(huì)不時(shí)地出現(xiàn)在我們眼前。但文科學(xué)生對(duì)幾何概型的問(wèn)題又比較怕，特別是作為解答題來(lái)考時(shí)，更是不知所措。為此，筆者結(jié)合自己的一些經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勎目茖W(xué)生應(yīng)從哪些方面去破解幾何概型問(wèn)題，不足之處還請(qǐng)同行指正。

一、弄清幾何概型的特點(diǎn)，會(huì)判斷問(wèn)題是否是幾何概型問(wèn)題

幾何概型的主要特點(diǎn)有二：無(wú)限性與等可能性，即無(wú)限性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)窮多個(gè)，即基本事件有無(wú)限多個(gè)。等可能性：在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件發(fā)生是等可能的。

判斷一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為幾何概型，兩個(gè)條件缺一不可。

二、理解幾何概型概率計(jì)算公式，會(huì)根據(jù)公式尋找解題方法

幾何概型的概率計(jì)算公式為：

P（A）=■

根據(jù)上面的公式可以知道，要計(jì)算一個(gè)幾何概型的概率，必須弄清以下幾點(diǎn)：

1.基本事件是什么，所有的這些基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω是

什么？

2.使事件A發(fā)生的基本事件應(yīng)滿足什么條件，滿足條件的這些基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω′是什么？

3.兩個(gè)區(qū)域Ω、Ω′的度量各指的是什么？各為多少？

三、規(guī)范語(yǔ)言敘述，正確寫(xiě)出解答過(guò)程

一個(gè)規(guī)范的解答比什么都重要。那么，幾何概型問(wèn)題的解答過(guò)程應(yīng)如何書(shū)寫(xiě)呢？筆者認(rèn)為應(yīng)從以下幾點(diǎn)來(lái)敘述：

1.判斷概型。

2.指出所有的這些基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω并求出其度量。

3.指出事件A中的所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω′并求出其

度量。

4.代入公式計(jì)算。

5.下結(jié)論。

下面，我們通過(guò)一個(gè)具體的問(wèn)題來(lái)領(lǐng)會(huì)幾何概型問(wèn)題該如何解決：

例題：如圖1，AB為⊙O的直徑，∠A=30°，M為AB上隨機(jī)點(diǎn)，求“MB

■

圖1

分析：（1）由于點(diǎn)M為AB上隨機(jī)點(diǎn)，所以M所有的取法有無(wú)數(shù)種，且每一種取法都是等可能的，故此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

（2）點(diǎn)M的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段AB，其度量指的是線段AB的長(zhǎng)度。

（3）使“MB

解答：顯然，此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

因?yàn)辄c(diǎn)M的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段AB，其度量指的是線段AB的長(zhǎng)度。由平面幾何知識(shí)可知，使“MB

■

圖2

變式1：如圖2，AB、CD為⊙O的直徑，∠A=30°，N為半圓ADB上隨機(jī)點(diǎn)，弦CN交AB于M點(diǎn)，求“MB

分析：（1）由于點(diǎn)N為半圓ADB上隨機(jī)點(diǎn)，所以N所有的取法有無(wú)數(shù)種，且每一種取法都是等可能的，故此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

（2）點(diǎn)N的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榘雸AADB，其度量指的是半圓ADB的長(zhǎng)度，值為πR。

（3）使“MB

解答：顯然，此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

因?yàn)辄c(diǎn)N的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榘雸AADB，其度量指的是半圓ADB的長(zhǎng)度，值為πR。由平面幾何知識(shí)可知，使“MB

變式2：如圖2，AB、CD為⊙O的直徑，∠A=30°，CN為∠ACB內(nèi)隨機(jī)射線，交AB于M點(diǎn)，求“MB

分析：（1）由于CN為∠ACB內(nèi)隨機(jī)射線，所以CN所有的取法有無(wú)數(shù)種，且每一種取法都是等可能的，故此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

（2）射線CN的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CB，其度量指的是∠ACB的角度，值為90°。

（3）使“MB

解答：顯然，此問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題。

因?yàn)樯渚€CN的所有取法構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CB，其度量指的是∠ACB的角度，值為90°。由平面幾何知識(shí)可知，使“MB

所以P（MB