圓錐曲線一個統一性質的簡證及推廣

陳益周

福建省莆田第五中學 (351100)

圓錐曲線一個統一性質的簡證及推廣

陳益周

福建省莆田第五中學 (351100)

《數學教學》2014年第12期文[1]給出了圓錐曲線的一個統一性質，即文[1]的定理3，并用較大的篇幅就橢圓、拋物線的情形給以證明，同時指出其逆命題成立，即文[1]的定理4(沒有給出證明).本文先給出文[1]的定理3、4的一個簡單證明，再把定理3、4進一步推廣到更一般的情形.

先把文[1]的定理3、4抄錄如下：

性質1 (文[1]的定理3)在橫向的標準圓錐曲線中，已知定點C和定直線l是一對類焦點和類準線，過定點C作圓錐曲線的兩條弦AB、DE，則直線AD與BE的交點P的軌跡在直線l上.

性質2 (文[1]的定理4)在橫向的標準圓錐曲線中，已知定點C和定直線l是一對類焦點和類準線，P是l上一點，AB是經過點C的一條弦，D、E是圓錐曲線上異于A、B的兩點，若AD與BE的交點P在l上，則直線DE恒過定點C.

下面先給出性質1、性質2的一個簡單證明.再把上述性質中的“類焦點和類準線”推廣到“極點和極線”的情形.

引理2[2]已知圓錐曲線Γ的內接四邊形P1P2P3P4(字母P1，P2，P3，P4按逆時針排列)中，直線P1P4、P2P3相交于曲線Γ外一點P，PT1、PT2與曲線Γ相切，切點為T1、T2，則四邊形P1P2P3P4的對角線P1P3、P2P4與切點弦T1T2三線共點(如圖1).

圖1 圖2

下面利用上述引理給出上述性質1、性質2的一個簡證(同文[1]，只證明橢圓、拋物線的情形)：

對于拋物線y2=2px(p>0)，設定點C(m,0)(m>0)和定直線l：x=-m是一對類焦點和類準線，直線AD與BE的交點P(x0,y0).若連結AE,BD，則ADBE(字母A、D、B、E按逆時針排列)是拋物線的內接四邊形. 過點P(x0,y0)作拋物線的兩條切線PT1、PT2，切點為T1、T2，據引理1，切點弦T1T2所在直線方程為y0y=p(x+x0).據引理2，切點弦T1T2與四邊形ADBE的對角線即弦AB、DE三線共點.又由弦AB、DE都過定點C(m,0)(m>0)，得切點弦T1T2過定點C(m,0)(m>0).把C(m,0)的坐標代入y0y=p(x+x0)，得0=p(m+x0).又由p>0 ，得x0=-m. 這表明，點P(x0,y0)在定直線l：x=-m上，即直線AD與BE的交點P的軌跡在直線l：x=-m上.

這就證明了上述性質1.

這就證明了上述性質2.

下面把上述性質1、2中的“類焦點和類準線”推廣到“極點和極線”的情形.

性質Ⅰ (文[1]的定理3的推廣)在橫向的標準圓錐曲線中，已知定點C和定直線l是一對極點和極線，過定點C作圓錐曲線的兩條弦AB、DE，則直線AD與BE的交點P的軌跡在直線l上.

性質Ⅱ (文[1]的定理4的推廣)在橫向的標準圓錐曲線中，已知定點C和定直線l是一對極點和極線，P是l上一點，AB是經過點C的一條弦，D、E是圓錐曲線上異于A、B的兩點，若AD與BE的交點P在l上，則直線DE恒過定點C..

下面利用引理1、2給出性質Ⅰ、Ⅱ的統一簡證.

特別地，當n=0時，性質Ⅰ、Ⅱ分別為性質1、2. 當橫向的標準圓錐曲線Γ上的點A與D、B與E分別重合于T1、T2，可分別得性質Ⅰ、Ⅱ的推論.

推論1 在橫向的標準圓錐曲線Γ中，已知定點C和定直線l是一對極點和極線，過定點C作圓錐曲線Γ的弦T1T2，則以T1、T2為切點的兩切線的交點P的軌跡在直線l上.

推論2 在橫向的標準圓錐曲線中，已知定點C和定直線l是一對極點和極線，P是l上一點， 過點P作圓錐曲線Γ的兩條切線PT1、PT2，切點為T1、T2，則切點弦T1T2恒過定點C.

由上觀之，上述性質Ⅰ、Ⅱ實質上是圓錐曲線配極性質的拓展.

至此，我們完成了對文[1]的定理3、4的簡證及推廣.

[1]石鑫. 由一道全國高中數學聯賽試題引的出圓錐曲線統一性質[J]. 數學教學,2014(12): 8-10.

[2]馬躍進，康宇.圓錐曲線內接四邊形的一個統一性質[J]. 中學數學研究(廣州),2011(4)：26-29.