圓錐曲線一個定值問題的研究
——2016年高考四川理科卷第20題的進一步探究

于興江 孫玉英

山東省聊城市水城中學 (252000) 山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

圓錐曲線一個定值問題的研究
——2016年高考四川理科卷第20題的進一步探究

于興江 孫玉英

山東省聊城市水城中學 (252000) 山東省聊城大學數學科學學院 (252000)

圓的切割線定理是圓的重要性質，本文就2016年四川理科卷第20題做了進一步解析與探究，在一定條件的基礎上，現將圓的切割線定理推廣到其他常見的圓錐曲線中.

一、原題呈現(2016四川理科卷第20題)

(Ⅰ)求橢圓E的方程及點T的坐標；

(Ⅱ)設O是坐標原點，直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

二、拓展延伸

圖1

注1：設O為坐標原點，⊙O為x2+y2=a2(a>0)，T(x0,y0)是圓上任意一點，過點T(x0,y0)的圓E的切線為l，平行于直線OT的任意直線l′(與OT不重合)與橢圓E交于點A、B，與直線l交于點P.則存在常數λ=1，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

注2：上述結論1是圓的切割線定理的特殊情況.圓的切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.即若PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線，則|PT|2=|PA|·|PB|.

注：證明過程可類比定理1.

定理3 設O為坐標原點，拋物線E為y2=2px(p>0)，T(x0,y0)(x0≠0)是拋物線上任意一點，過點T(x0,y0)的拋物線E的切線為l，平行于直線OT的任意直線l′(與OT不重合)與拋物線E交于點A、B，與直線l交于點P.則存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

注：證明過程可類比定理1.

根據定理1、定理2、定理3綜合得到：

定理4 設O為坐標原點，E為圓錐曲線，T(x0,y0)是圓錐曲線上任意一點，過點T(x0,y0)的圓錐曲線E的切線為l，平行于直線OT的任意直線l′(與OT不重合)與圓錐曲線E交于點A、B，與直線l交于點P.則存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

[1]孫玉英,于興江.探究引申剖析啟示—一道高考題的賞析[J].中學數學研究(江西),2013,10.

[2]柳俊婷,于興江.2015年山東理科第20題的多解分析及探究[J].中學數學研究(江西),2015,8.