由一道高考題引發(fā)的猜想與證明

李卓祺 羅衛(wèi)強(qiáng)

江西省吉安市白鷺洲中學(xué) (343000)

由一道高考題引發(fā)的猜想與證明

李卓祺 羅衛(wèi)強(qiáng)

江西省吉安市白鷺洲中學(xué) (343000)

在平面幾何里，有切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).如圖1，|PT|2=|PA|·|PB|.

圖1

由此進(jìn)行類比聯(lián)想，橢圓中是否也有類似于切割線定理的性質(zhì)呢？

先看一道高考試題：

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

基于上述結(jié)論，可給出以下兩個(gè)猜想.

猜想1 從橢圓外一點(diǎn)P引橢圓的切線PT與割線PAB，切線長(zhǎng)的平方與這點(diǎn)到割線與橢圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積成定比.

猜想2 從橢圓外一點(diǎn)P引橢圓的切線PT和割線PAB，并且此割線平行于切點(diǎn)與橢圓中心的連線，則切線長(zhǎng)的平方與這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積成定比.

在不失一般性的前提下，可以給出以下命題：

圖2

λ|PA||PB|.

此時(shí)λ與m無關(guān)，為常數(shù).故命題得證.

這說明橢圓確實(shí)具有類似于“圓的切割線定理”的性質(zhì).

能否進(jìn)一步猜想雙曲線也具有類似于“圓的切割線定理”的性質(zhì)呢？有興趣的讀者可嘗試探究.

看來解題實(shí)踐中處處是學(xué)問.我們?cè)谧鲱}的同時(shí)也應(yīng)該要多多觀察題目中的小細(xì)節(jié)，說不定就能得出有趣的結(jié)論.