數論中的五類不等式問題

呂孫忠

浙江省寧波效實中學 (315012)

數論中的五類不等式問題

呂孫忠

浙江省寧波效實中學 (315012)

不等式和數論結合的試題，需要有較強的代數變形技巧，以及一部分整數方面的知識.文中的符號如下：

(a,b)和[a,b]分別表示a和b的最大公約數和最小公倍數；

[x]和{x}分別表示x的整數部分和小數部分；

d(n)和σ(n)分別表示整數n的約數個數和約數和.

1 k進制中的不等式問題

注：這是一道以k進制為背景的不等式題目，其本質還是通過逐項比較判斷符號.其中，涉及到的一個性質是AnBn-1=(xnan+An-1)Bn-1.

例2f(n)表示n!含的2的指數，其中n為正整數，證明：(1)f(n)

∴n-(x0+x1+…+xk)≥a-(y0+y1+…+yi)+b-(z0+z1+…+zj)，?a+b≤n+(y0+y1+…+yi)+(z0+z1+…+zj)-(x0+x1+…+xk)≤n+(i+1)+(j+1)-1=n+(i+j)+1≤n+2k+1，且2k

注：從表面上看例3，大多數人會不知道如何入手，如果將問題表示為二進制以后，那么問題就柳暗花明了.

2 高斯函數中的不等式問題

A1=[x]≤[1·x]，假設Ai≤[ix]成立(i=1,2,…k).A1=[x],2(A2-A1)=[2x]，…，(k+1)(Ak+1-Ak)=[(k+1)x]，∴(k+1)Ak+1-(A1+A2+…+Ak)=[x]+[2x]+…+[(k+1)x].又∵[x]+[y]≤[x+y]，∴(k+1)Ak+1≤([x]+[kx])+([2x]+[(k-1)x])+…+([kx]+[x])≤(k+1)[(k+1)x]，∴Ak+1≤[(k+1)x]，∴對任意自然數n，An≤[nx].

注：此題直接使用第一數學歸納法是行不通的，要使用第二數學歸納法，借助一個數論不等式[x]+[y]≤[x+y]，最后通過倒寫相加解決問題.

3 離散性中的不等式問題

注：利用整數的離散性，a,b∈Z，a>b，則a≥b+1.

注：整數的離散性，還表現在一些平方數或者立方數的差，它們的間隔會有一定的特點，只能取到某些特定的數.

4 σ(k)函數中的不等式問題

例11d(n)表示n的約數個數.求證：

注：此題也需要交換求和符號，同時也考察了σ(n)的兩種表示方式.

5 公約數和公倍數中的不等式

注：此題中在化簡的時候除了用到均值不等式以外，還用到了兩條數論的性質，它們分別是(a,b)≤|a-b|和(ak,bk)=(a,b)k.看到此題要證明的結論，其實可以從結論出發，猜測證明的過程(a3,b3)≥(a,b)3≥|a-b|3>3ab，然后再進行代數變形，得到所需要的a3和b3.

[1]邊紅平.初等數論[M].浙江大學出版社，2007.

[2]何憶捷.數論性質在不等式問題中的應用[J].中等數學,2014,01:5-9.

[3]羊明亮.2014中國西部數學邀請賽[J].中等數學,2014,11:31-34.

[4]劉康寧.數論中的不等式問題[J].中等數學,2010,01:9-13.