也要重視“條件”的聯想性思維

唐昭宇

江蘇省東臺市安豐中學 (224221)

也要重視“條件”的聯想性思維

唐昭宇

江蘇省東臺市安豐中學 (224221)

1 優生的質疑

(1)求tanC的值；

(2)若ΔABC的面積為7，求b的值.

該題是2015年浙江高考理科第16題，它的條件簡潔干練，要求學生運用相關三角知識，靈活分析求解三角形的邊角關系，是一道基本而又不失思考性的三角問題.我校2016屆高三的一次月檢測考試選用了該題，考后，我班一位數學成績優秀的學生向我提出，這道題的兩個問題的順序是不是反了？筆者反問他怎么回事？他說，第(2)題明顯比第(1)題簡單多了.然后，他給出一個問題逆序求解的解法：

該優生的解法確實是先迅速解決了第(2)題，而且反過來求解第(1)題時，也比較輕松，他所用的知識方法、推理過程并無特別之處，關鍵是與常規思路的思維方式不同.上述常規思路，是在問題的導向下，有目的地處理條件，它是順著問題的要求，思考后得到的方法，類似于分析法的思維方式，即思考“問題要得什么，條件應怎么處理？”；而上述解法，它不太在意問題的要求，更側重于條件的聯想性處理，即“看到這樣的條件，我能怎樣的處理？”.

2 “條件聯想”的必要性

2.1 要關注條件的切入

上述題1，通過條件的聯想處理，得到了一個新解法，并突破了2個問題間的難易順序.事實上，數學解題要充分關注“條件”的切入處理，否則有時還會把容易題當成難題求解，下題的權威解答演變，發人深省.

圖1

題2 如圖1，一份印刷品的排版面積(矩形)為A，它的兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白.如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最小？

題2是蘇教版必修5“基本不等式”一節中的例題，2005版教材提供了下列解法(詳見文[1])：

解法1：設紙張的長與寬分別是x,y，則

法1所列出的等式，較難直接運用基本不等式，轉化為求紙張面積S的最小值，從而走到消元思路上去，并且還用到分子分離常數法，配湊出“對勾”型函數，再用基本不等式，變形技巧強，作為初學基本不等式的學生來講，有點勉為其難！因此，2012版教材改版時，對此解法作了調整(詳見文[2])：

法2顯然比法1簡潔多了，學生更容易接受.法1是緊扣著問題入手，根據問題選取變量，轉化過程有點復雜，而法2改變了變量的選取，使得紙張面積更易轉化為排版面積，從而順利用上基本不等式.

倘若學生課堂上提問，怎么想到設排版矩形的長與寬，而不設紙張的長與寬的呢？教師如何回答呢？這個問題還真不好回答，依我看，這還是上述題1所涉及的思維方式問題，我們還要關注“以關鍵的條件作為切入口”這種思維方式！因此，筆者的課堂教學，上述兩種方法都沒有采用，而是從排版面積A(定值)分析入手，設一邊長為x，以此能表示該圖形的各邊長，筆者認為下列方法更適宜課堂教學：

法3的解題分析也很合理，過程簡潔，其解題難度比法1容易許多，說明利用關鍵條件，合理切入，非常有必要！

2.2 “條件聯想”的必要性

抓住問題，尋找解題方向，非常有必要！這樣解題的方向性強，可能會減少折騰，但我們需要注意的是，只以問題分析，未必能找到解題思路、未必能找準解題方向、也未必能得到較合理的解法，上文題2充分說明了這一點，我們解題還需要抓住關鍵條件切入，這樣更有利于得到合理的解題思路.

數學解題，實際上是要找到條件與問題的連接點，即要找“由條件推得什么，再得什么，…”與“結論要求什么，即要做什么，…”的對接關系.因此，需要以關鍵條件切入，有必要對其發揮聯想的作用，通過聯想可以發現條件多種處理手段，可以發現問題的不同解法，可以有新的發現與見解.當然，從數學解題的角度看，我們也有必要抓住問題逆推，盡快找準解題目標，若一味發散聯想，也有可能會不得要領而折騰時間，把條件的聯想思維與問題的逆推相結合，對優化解題十分有利！下列題3，若不善于利用條件聯想，則難以解答.

這道題的解答(具體詳見文[3])，只從問題“求p·q的值”反推，是難以產生思路的！需要考生對條件“a2015=2015a1”充分聯想，才能結合所得到的結論“p(n-1)an=(pn+1-2p)an-1”找到解題思路.

3 解題教學的反思

解題教學，應是解題方法的發現教學，是發現過程的教學.而這個發現過程，是教師帶領學生的思考過程，不同的引導，學生的接受水平肯定不同，教師要合理引導學生思考，與學生充分交流“思與想”，要把思維理念傳授給學生，讓學生面對一個數學問題，能夠多維思考.

創新教學，是目前這個創新時代對我們教師提出的要求.筆者認為，學生思維的創新是創新教學的重要任務之一，就數學解題而言，對條件的聯想性思維，就是一種創新思維，這種思維方式比較靈活，具有一定的發散性，具有這種思維的學生，往往思路比較開闊，問題的認識往往比較深刻，但這種思維方式，是我們數學教師解題教學的一個弱項，需要我們加強重視，并要共同努力，提升這種創新思維能力的教學.以下再試舉一例，與讀者共同體驗聯想思維的教學過程.

4 結束語

數學教學，不僅僅是要教給學生知識與方法，很多知識方法，學生是不可能終身記憶并運用的，對他們有用的是獲取這些知識方法的思維過程，教學生學會思考，培養學生的思維能力，應是我們數學課堂教學的重要任務！

[1]單墫.蘇教版普通高中課程標準實驗教科書(數學必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]單墫.蘇教版普通高中課程標準實驗教科書(數學必修5)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.

[5]吳彤.善于聯想，讓思維更流暢[J].數學通訊，2016(7)：27-31.