高考數學文化之祖暅原理例析

程 瑋

江西省瑞金市第一中學 (342500)

高考數學文化之祖暅原理例析

程 瑋

江西省瑞金市第一中學 (342500)

在國家教育部考試中心發布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中，特別強調了要增加對于數學文化的考查，數學文化是人類文化的重要組成部分.考綱中此處的變化，有利于學生領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識.本文主要介紹祖暅原理的內容和來歷以及通過經典例題加以分析.

1.祖暅原理的內容和來歷

祖暅原理，又名等冪等積定理，內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.魏晉時期數學家劉徽發現《九章算術》中的球體積計算公式是錯誤的，可惜他試了很多方法都沒有得出正確的結論.祖暅(著名數學家祖沖之的兒子)沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論進行體積計算，得出“冪勢相同，則積不容異”的結論.“勢”即是高，“冪”是面積，終于將這個難題完美解決.

2.典例分析

解析：根據提示，一個半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面面積8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據祖暅原理，每個平行平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

點評：數學思想方法是數學知識的精華，掌握必要的數學思想方法對我們日常生活中分析和解決問題大有裨益，這道題如果沒有祖暅原理的知識儲備的話可以說是一道難題，基礎稍好的學生或許會掉入“割補法”(將右邊的半圓補到左邊的空白半圓中，組成一個矩形)的陷阱中.

例3 設由曲線x2=4y和直線x=4，y=0所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體為Γ1；由同時滿足x≥0，x2+y2≤16，x2+(y-2)2

≥4，x2+(y+2)2≥4的點(x,y)構成的平面圖形,繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體為Γ2.根據祖暅原理等知識，通過考察Γ2可以得到Γ1的體積為________.

點評：本題以拋物線和圓作為載體將平面圖形旋轉后形成空間幾何體，重點考查了學生的空間想象能力和計算能力.確定截面位置和論證兩個截面面積相等是解題的關鍵.

由近五年的高考試題發現，數學文化因這些高考題而慢慢地進入到高中數學課堂，這些試題也因傳播數學文化而成為經典試題.可以預見，當富有數學文化內涵的高考題鮮活的出現，定會引領一線教師去挖掘和探究，繼而把數學文化教育漸漸地滲透到課堂教學中，最終實現《普通高中數學課程標準》中“體現數學的文化價值”的預期目標，進而達到數學育人的目的.