發現幾何本質，提高解題效率
——以立體幾何動態問題中的隱性軌跡為例

沈新權 潘 虹

浙江省玉環縣玉環中學 (317600) 浙江省嘉興市第一中學 (314050)

發現幾何本質，提高解題效率
——以立體幾何動態問題中的隱性軌跡為例

沈新權 潘 虹

浙江省玉環縣玉環中學 (317600) 浙江省嘉興市第一中學 (314050)

立體幾何是高中數學課程中的經典內容，它承載著培養學生邏輯推理和空間想象能力的不可或缺的任務，在高考中，立體幾何也有著其極其重要的地位．空間向量的引入為求解立體幾何問題提供了思維上的便利，正因為空間向量兼具幾何和代數的雙重身份，它成為了用代數方法解決立體幾何問題的橋梁，因此從這個角度講，空間向量無疑是處理立體幾何問題的有力工具．在立體幾何的教學中，我們感覺到用空間向量解決立體幾何問題有時候也是一把雙刃劍：對于有些立體幾何問題，利用空間向量求解，雖然思路簡單，但運算卻比較繁雜，解題的效率不高；在實際教學中，有些老師為了在課堂上多講解幾個題目，在分析立體幾何問題時，經常以空間向量處理立體幾何問題的單一方法來引導學生，這種做法對傳統立體幾何的教學結構以及教學模式產生了很大的影響，長期下來，這樣的教學方式勢必與開設立體幾何這一課程的目的背道而馳．因此，高中立體幾何的教學中如何平衡好利用空間向量解決立體幾何問題與充分借助圖形的幾何性質解決立體幾何問題就顯得尤為重要．

縱觀歷年各省市的高考數學試題，很多試題有一個顯著的特點：想得多一點，就算得少一點；而想得少一點，就必須算得多一點．因此，解決同一個數學問題，有的解法需要10分鐘時間，而有的解法可能只需要3-5分鐘時間，這就是解題的效率問題，其中的差別就在于所使用的解題方法的不同．對于立體幾何中的一些動態問題，這種差別尤為明顯，如果我們在分析立體幾何問題時能夠發現問題中所蘊含的幾何本質，這將會為問題的解決提供極大的便利．

一、發現動點圓的軌跡，利用投影計算線段長度比

立體幾何中有一類問題，把一個平面圖形按某種要求折起，轉化為空間圖形，進而研究圖形在空間位置關系和數量關系上的變化，這類問題稱為“平面圖形的翻折問題”．處理這類題型的關鍵在于“以靜制動，靜觀其變”，也就是畫出折疊前后的平面圖形與立體圖形，抓住圖形翻折前和翻折后的特征關系，并弄清折疊前后哪些發生了變化，依靠圖形中的這些不變量和不變關系是解決折疊問題的關鍵．

在立體幾何翻折問題中，動點的軌跡為圓，一般有兩種情況，一種是互相垂直的線段的交點軌跡為圓；另一類是動點到兩個定點的距離之比為常數(不等于1)的點的軌跡為圓(阿波尼斯圓)．

分析：本題是2016學年的臺州期末考中的選擇題第10題，這是一道立體幾何中的最值問題，考試以后統計本題的正確率只有33.7%，大多數學生是想辦法建立坐標系尋找函數關系式，從而求出其最大值，但因為運算比較復雜，有的學生雖然解出了答案，但為此浪費了不少寶貴的時間，也有不少學生因為不堪計算在考場上無功而返．

如果以角度為變量，我們還可以有如下的思路．

這里C2的軌跡為以CF為直徑的圓，這是個隱性軌跡，同樣是建立一個函數關系式，但代數與幾何相結合，卻比思路一簡單得多．很多學生忽略了這個隱性軌跡，用思路一和思路二去解決固然可以，但計算量偏大．

二、探求動態圖形中的不變元素，借助球的軌跡計算兩點間距離的最值

與平面幾何中定點到圓上的動點的距離的最值問題一樣，立體幾何中的兩點間的距離的最值問題也可以借助空間中球的軌跡來解決，解決的關鍵在于能夠發現問題中動點的軌跡為球．

例3 如圖2，直線l⊥平面α，垂足為O，已知邊長為2的等邊三角形ABC在空間做符合以下條件的運動，A∈l,C∈α，則O，B兩點間距離的最大值為___________．

利用幾何法解決問題，關鍵要抓住幾何要素，思路二與思路三中的隱形球可以簡化代數法中的運算．

三、追蹤動態圖形中的圓錐軌跡，快速求解空間角的最值問題

對于一些平面圖形的翻折問題，從動態的角度去看，就是平面圖形繞著某一條直線旋轉的過程中所形成的空間圖形，因此平面圖形的翻折問題在某種程度上看，其本質上是旋轉問題，所以，求解時，如果我們恰如其分的利用隱藏在動態圖形當中的圓錐的軌跡，這為問題的解決提供了技術的保障．

例4 如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB=AC=PB=PC=10,PA=8，BC=12，點M在平面PBC內，且AM=7，設異面直線AM與BC所成角為α，則cosα的最大值為( ).

無獨有偶，2015年浙江省高中數學學業水平考試卷中一道選擇題的壓軸題也可以用這種方法得以輕松的解決．

例5 如圖4，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD,BD的中點分別為E,F，現將ΔABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是( ).

利用動直線的圓錐軌跡不僅可以快速處理空間中角度的問題，還可以把問題從空間向平面轉化，從而降低問題解決的難度．

例6 如圖6，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°．若平面ABC外的點P和線段AC上的點D滿足PD=DA,PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是 ．

分析與解：本題是2016年浙江省高考數學理科的第14題，求解四面體PBCD體積的最大值，可以考查學生的觀察判斷、空間想象、運算推理等能力，對學生有較高的能力要求．求解時，可以從建立坐標系利用代數法或是找到點線面的關系利用幾何法去解決，這里不作詳解．當沒有理清立體幾何錯綜復雜的點、線、面的位置關系時，我們會覺得立體幾何很難下手，摸不到準確的方向．若當我們能看透本質，問題豁然開朗．

事實上，這里也藏著一個“隱性”軌跡．怎么發現？題干“PD=DA,PB=BA”可以把它看成一個翻折問題，又由“BP=BA=BC”聯想到圓錐模型．取AC中點O，該圓錐以DO為軸，BA，BC為兩條固定的母線，且∠ABC為圓錐母線所成最大角．在將面ADB翻折的過程中，可以把BP看成圓錐的一條

動母線，作出立體圖形(如圖7)，我們可以找到突破點：已知高BO為定值，要使VB-PCD達到最大，只須ΔPCD面積達到最大，從而空間問題轉化成平面問題，難點迎刃而解．

以立體幾何中的動態問題所隱藏的圓錐的軌跡為命題背景的高考試題比比皆是．如2016年浙江省高考數學文科第14題，2015年浙江省高考數學文科第7題，理科第8題等問題，雖然它們的表述方式表面上看起來都不太相同，但仔細分析，我們會發現這些問題所蘊含的幾何本質是相同的，對這些幾何本質的發現和挖掘，不僅可以提高學生的解題效率，更重要的是通過對立體幾何問題的幾何解決可以激發學生學習數學的興趣，提高他們的邏輯推理能力和空間想象能力，從而可以達到學習立體幾何的真正目的．

[1]周筆崇，施剛良.再談浙江高考中的圓錐情結——以二道2016年浙江省數學高考文、理科卷填空題為例[J].中學教研(數學)，2016(8)：40-42.

[2]李建標.從考題中看動態立體幾何中的圓錐情結[J].數學通報，2016(7)：40-42.