利用積分證明不等式

吳方躍

摘 要：研究不等式的方法可謂眾多，本文主要利用積分不等式這個高等數(shù)學(xué)中比較重要的證明不等式方法著手，首先簡明扼要地介紹用積分不等式在解決不等式問題中所起到的積極作用，如何解決不等式證明問題，接著將推出高等數(shù)學(xué)中其它幾個常見且極其重要的不等式

關(guān)鍵詞：不等式；積分

引文 不等式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的課題之一，在高等數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.因此，對不等式作一些必要的研究具有重大的意義，同時，也為我們?nèi)绾巫C明不等式問題提供了必要的理論指導(dǎo)。

研究不等式問題，方法眾多，本文將著重以高等數(shù)學(xué)中利用積分不等式為理論基礎(chǔ)，探討如何解決不等式問題。

1這里以詹森（Jensen）積分不等式為例，說明積分不等式在解決不等式問題中所起到的積極作用

定理1設(shè)和在區(qū)間上連續(xù)， ，，且，是上連續(xù)函數(shù)，則

⑴

例1： 設(shè)，在上為正值連續(xù)函數(shù)，則有Holder積分不等式

⑵

證明 令，則.

為凸函數(shù).

由定理1得

.

即.

也即

.

應(yīng)用積分不等式（2），不難推出積分不等式.

. （3）

在（2）中令，可得積分不等式

（4）

在（3）中令.可得積分不等式

（5）

2 利用施瓦茨不等式證明下列不等式

定理2 施瓦茨不等式：若和在上可積，則

（*）

若在 上連續(xù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使得時成立（不同時為零）.

證明：

這就證明了（*）式.由此看出，若連續(xù)，等號當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)（不全為零）使得時成立。

例2：1）若在上可積，則

證明：根據(jù)施瓦茨不等式知

（ = .

2）若，都在上可積，則有閔可夫斯基不等式：

.

證明：利用施瓦茨不等式可知：

即

.

其實(shí)閔可夫斯基不等式還有其它一般形式：

a 基本形式：

定理3對于任意實(shí)數(shù)，及，有：

當(dāng)時，

當(dāng)時，

其中等號當(dāng)且僅當(dāng)與成比例時成立。

b積分形式

定理4 設(shè)，在上有定義，使下面積分有意義，

則當(dāng)時，.

當(dāng)時，.

參考文獻(xiàn)：

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