基于質(zhì)量檢測的初中學生數(shù)學建模發(fā)展狀況的調(diào)查研究

李 賀，張衛(wèi)明

（1．江蘇省徐州高級中學，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學教育集團，江蘇 鹽城 224001）

基于質(zhì)量檢測的初中學生數(shù)學建模發(fā)展狀況的調(diào)查研究

李 賀1，張衛(wèi)明2

（1．江蘇省徐州高級中學，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學教育集團，江蘇 鹽城 224001）

數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)的基本成分．在2016年江蘇省中小學生學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測測試中，對與數(shù)學建模相關的題目得分及水平分布作了統(tǒng)計和分析，結(jié)果表明：（1）江蘇省初二年級學生的6個數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展不平衡，與其它5個核心素養(yǎng)的發(fā)展相比較，數(shù)學建模優(yōu)秀水平相對較高．（2）江蘇省初二年級學生的數(shù)學建模水平發(fā)展也不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出．（3）江蘇省初二年級學生的數(shù)學建模水平表現(xiàn)依次是城區(qū)好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)好于鄉(xiāng)村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學校明顯好于公辦學校；不存在性別上的顯著差異．

數(shù)學核心素養(yǎng)；數(shù)學建模；初中生；學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測

1 問題提出

數(shù)學建模是高中課程標準修訂組專家提出 6個數(shù)學核心素養(yǎng)成分之一，具體描述為：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程．主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題．數(shù)學模型構(gòu)建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式．數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力．在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學解決實際問題的經(jīng)驗．學生能夠運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型；能夠提升應用能力，增強創(chuàng)新意識．

模型思想是修訂《義務教育課程數(shù)學標準（實驗稿）》新增的核心概念．《義務教育數(shù)學課程標準》對模型思想的描述是：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑．建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義．這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識[1]．

史寧中教授在《數(shù)學思想概論》中提出這樣的觀點：“數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有3個：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系．”[2]從數(shù)學產(chǎn)生、數(shù)學內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學外部關聯(lián) 3個維度上概括了對數(shù)學發(fā)展影響最大的3個重要思想．數(shù)學建模過程可以使學生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識、技能，使學生更有思想、方法，也有一些經(jīng)驗積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學態(tài)度等）也會得到培養(yǎng)．另外，模型思想還體現(xiàn)在《義務教育數(shù)學課程標準》其它方面．如《義務教育數(shù)學課程標準》中有如下提法：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模過程．”（數(shù)與代數(shù)總目標）；“結(jié)合實際情境，經(jīng)歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”（“綜合與實踐”內(nèi)容標準）等[3～5]．那么，當下初中學生的數(shù)學建模能力狀況到底如何？特別是數(shù)學建模作為核心素養(yǎng)提出再次成為數(shù)學教育研究的熱點，有必要對這個問題作研究．

這里就2016年江蘇省初中二年級學生數(shù)學學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，與數(shù)學建模相關的題目得分情況和水平分布作出分析，以反映江蘇省初中二年級學生的數(shù)學建模水平的基本狀況．

2 調(diào)查結(jié)果

2.1 不同群體在數(shù)學建模各水平的分布

圖1給出了江蘇省及不同群體學生在數(shù)學建模各水平上的人數(shù)比例．

圖1 不同群體學生在數(shù)學建模各水平上的人數(shù)比例

從圖1中可以看出，在數(shù)學核心素養(yǎng)之數(shù)學建模上，江蘇省學生在不合格水平上的人數(shù)比例為15%，說明江蘇省有85%的學生達到了合格及以上水平．城區(qū)、鎮(zhèn)區(qū)和鄉(xiāng)村學校學生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為13%、17%和25%；蘇南、蘇中和蘇北學校學生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為12%、12%和20%；公辦和民辦學校學生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為17%和7%；男生和女生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為16%和13%．

2.2 題目中涉及數(shù)學建模的得分情況

從表1中可以看出，本次測試中，學生總體能力處于A、B、C、D四個水平的學生在M8AO041這道題目上的平均得分率分別是99.2%、97.6%、87.5%、52.0%；從學生的得分分布情況看，在 9個小題中，學生表現(xiàn)優(yōu)異的小題有 2個，表現(xiàn)中等的小題有6個．表現(xiàn)較弱的小題有1個．

表1 學生在數(shù)學建模各題得分的水平表現(xiàn)

3 分析討論

3.1 不同表現(xiàn)水平學生在每道題目上的平均得分率比較

從調(diào)查結(jié)果看，學生在以下兩個方面表現(xiàn)優(yōu)異：（1）用數(shù)學符號建立一次函數(shù)表示問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律（2）從具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立函數(shù)表示問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律．在以下方面表現(xiàn)較差：從具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立一次函數(shù)表示問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．方程、函數(shù)、不等式是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的模型，用數(shù)學符號建立方程、函數(shù)、不等式表示問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律對于大部分學生來說，表現(xiàn)優(yōu)異．但是對于題目中反應出的復雜生活背境，進而結(jié)合函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是學生的難點．這個結(jié)果說明，學生問題解決能力和應用意識值得關注．

4個水平的學生在每道題目上的平均得分率基本呈正態(tài)分布，其中優(yōu)秀、良好水平學生平均得分率低于20%的題有1道，合格水平學生平均得分率低于10%的題有3道，不合格水平學生平均得分率低于1%的題有4道．

3.2 數(shù)學建模與6個核心素養(yǎng)總體情況的比較

從兩者優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計的11項數(shù)據(jù)中，蘇南與民辦超出3%，另外9項均超出2%，說明對優(yōu)秀學生來說，數(shù)學建模超出核心素養(yǎng)總體情況高度．從兩者良好的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計的11項數(shù)據(jù)中，數(shù)學建模數(shù)據(jù)均高于核心素養(yǎng)總體，最多低10%，最少低7%，說明對良好學生來說，數(shù)學建模低于核心素養(yǎng)總體．從兩者合格的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計的11項數(shù)據(jù)中，蘇南、民辦超出 1%和 2%，城區(qū)、公辦沒有差異外，其它數(shù)學建模數(shù)據(jù)均低于核心素養(yǎng)總體的1%，說明對兩者合格學生來說，數(shù)學建模略低于核心素養(yǎng)總體．從兩者不合格的得分人數(shù)占比看，從所統(tǒng)計的11項數(shù)據(jù)看，數(shù)學建模數(shù)據(jù)均高于核心素養(yǎng)總體，最少高出4%，最高高出10%，說明數(shù)學建模不合格的學生遠超于核心素養(yǎng)總體不合格的學生．

這個結(jié)果說明，與核心素養(yǎng)整體的發(fā)展相比較，數(shù)學建模發(fā)展不太平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出，這可能與數(shù)學建模的題目背境大多來源于生活實際有關，學生“概念性理解”能力強，“問題探究”能力差．

3.3 數(shù)學建模自身的差異性比較

城鄉(xiāng)比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)城區(qū)要遠好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)要好于鄉(xiāng)村；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)城區(qū)、鎮(zhèn)區(qū)要好于鄉(xiāng)村；從合格與不合格的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)鄉(xiāng)村人數(shù)高于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)高于城區(qū)．

不同地域比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)蘇中要好于蘇南，蘇南要好于蘇北；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)蘇南、蘇中、蘇北大致相當．從合格與不合格的得分人數(shù)占比看，蘇北的人數(shù)要高于蘇南、蘇中．

不同性質(zhì)學校比較：從得分人數(shù)占比看，民辦優(yōu)秀的人數(shù)要遠高于公辦，合格、不合格的人數(shù)遠少于公辦．

不同性別比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)男生略好于女生；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學建模的表現(xiàn)女生略好于男生；而男生不合格的人數(shù)又多于女生．

從以上結(jié)果看出，男女學生在數(shù)學建模水平上沒有太大差異．鄉(xiāng)村學校和蘇北地區(qū)的學校初中二年級學生的數(shù)學建模水平相對較低，民辦學校的學生在數(shù)學建模水平方面較許多公辦學校更有優(yōu)勢．

3.4 出現(xiàn)的問題分析

對平均得分率為23.4%和61.3%的小題，進行了典型錯誤的記錄，并對錯因進行了項目組的討論與分析．

案例1 M8AS174 水果店張阿姨以每千克2元的價格購進某種水果若干千克，銷售一部分后，根據(jù)市場行情降價銷售，銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的關系如圖所示．當銷售量為多少千克時，張阿姨銷售此種水果的利潤為150元？

錯誤分析：

（1）學生沒有理解降價前后應是兩種不同情況，缺乏分類討論的意識．

（2）學生錯誤地將銷售額理解為利潤，混淆了這兩個概念．

（3）學生對降價后的單件利潤在函數(shù)圖象理解上出現(xiàn)錯誤，或?qū)︿N售額與利潤兩個概念理解不清．

（4）學生錯誤地將降價后的售價理解為直接用 260÷80＝3.25（元/千克），這反應了學生對函數(shù)圖象不理解．

（5）運算能力不強．

案例2 M8AS151 小麗跟隨旅行團到風景區(qū)游覽．游覽過程中，她被景區(qū)內(nèi)的紀念品商店所吸引，用了5 min購物后，立即沿團隊行走路線追趕，恰好與團隊同時到達距離商店600 m處的景點A．已知她追趕的平均速度是團隊行走平均速度的2倍．求團隊行走的平均速度．

錯誤分析：

（1）對數(shù)學模型的理解有誤，不能正確理解幾個變量間的關系，并找到相等關系，不能用代數(shù)式表示出相應的量．

（2）不會正確解分式方程，對基本變形如去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為“1”等步驟出錯，不知道方程每一步變形的依據(jù)．

（3）不知道解分式方程要檢驗，主要是在新課學習過程中，對為什么要檢驗的理由不理解，對檢驗的必要性不重視．

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié) 論

（1）江蘇省初二年級學生的6個數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展不平衡，與其它5個核心素養(yǎng)的發(fā)展相比較，數(shù)學建模優(yōu)秀水平相對較高．

（2）江蘇省初二年級學生的數(shù)學建模水平發(fā)展也不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出．

（3）江蘇省初二年級學生的數(shù)學建模水平表現(xiàn)依次是城區(qū)好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)好于鄉(xiāng)村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學校明顯好于公辦學校；不存在性別上顯著差異．

4.2 建 議

（1）建立數(shù)學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程．要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關系，然后利用數(shù)學的理論和方法去分析和解決問題．這就需要深厚扎實的數(shù)學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面．

（2）改變過去以教師為中心、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學模式．教學中應以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力素養(yǎng)為目標來組織教學工作．

（3）教學過程中要讓學生充分體會一次函數(shù)、方程、不等式的意義，關注概念、法則、性質(zhì)等形成的過程，重視法則、性質(zhì)在解決實際問題中的運用，培養(yǎng)識別圖表信息的能力．

（4）加強對學生基本技能的訓練，如：解方程或方程組．

（5）將數(shù)學與現(xiàn)實、靜態(tài)與動態(tài)結(jié)合在一起．教學中不僅關注數(shù)學內(nèi)容的掌握，還特別注重應用意識[6]．

（6）重視數(shù)學文化的熏陶，引導學生善于用數(shù)學知識和思想方法分析生活中的數(shù)學現(xiàn)象．

（7）改變學生的學習方式．數(shù)學建模是一個綜合性的過程，它具有問題性、活動性、過程性、探索性，因而它不同于單純的數(shù)學解題，這給學生學習方式的改變帶來了很大的空間．

[1]中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2011版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2011．

[2]史寧中．數(shù)學思想概論[M]．長春：東北師范大學出版社，2015．

[3]鄭毓信．數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（3）：1．

[4]喻平．數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素析取的實證研究[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（6）：1．

[5]王光明，張楠，周九詩．高中生數(shù)學素養(yǎng)的操作定義[J]．課程·教材·教法，2016，（7）：50．

[6]何小亞．學生“數(shù)學素養(yǎng)”指標的理論分析[J]．數(shù)學教育學報，2015，24（1）：13．

Survey on the Development of Mathematical Modeling Capabilities of Junior High School Students Based on the Academic Level Monitoring

LI He1, ZHANG Wei-ming2
(1. Jiangsu Xuzhou Senior School, Jiangsu Xuzhou 221000, China; 2. Jiangsu Yancheng Middle School Education Group, Jiangsu Yancheng 224001, China)

Mathematical Modeling is one of the six mathematical key competences. In this paper, we conducted a survey on the questions related to mathematical modeling and its scores in 2016 Education Quality Monitoring Tests of Jiangsu Province. The data which we collected shows that: (1) there are many imbalances between six mathematical key competences’ training in the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province; by comparing with the other five mathematical key competences, mathematical modeling capabilities of the students showed a higher level; (2) the development of mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province is lack of balance, which has resulted in the polarization significantly; (3) in particular, the mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in urban areas is better than rural areas; the capabilities of the students in middle Jiangsu is better than in southern Jiangsu, and the later is better than in northern Jiangsu; the capabilities of the students in private-run schools is better than in public-run schools; and there is no significant gap between boys and girls. According to the analysis of the survey above, we finally gave some suggestions to improve the situation.

mathematical key competences; mathematical modeling; junior-middle school students; education quality monitoring

G632

A

1004–9894（2017）01–0019–03

[責任編校：周學智]

2017–01–20

江蘇省教育廳基于測試分析的跟進式改革重大研究項目——義務教育學科核心素養(yǎng)和關鍵能力研究（2015JYKTZD-02）；江蘇省中小學教學研究第十一期重點課題——初中數(shù)學學業(yè)水平評價研究（2015JK11-Z085）；江蘇省社科基金——中小學生數(shù)學核心素養(yǎng)體系建構(gòu)與教學實踐研究（15JYD001）

李賀（1979—），女，江蘇徐州人，中學高級教師，主要從事數(shù)學教育研究．