L測度的建立方法比較與一點注記

摘要：L測度是法國數學家Legesgue在前人工作的基礎上建立的一個比較完善的度量，在空間的積分中有很重要得應用，本文首先從Lebesgue本人的做法，從內外測度相等的方式完成對可測集類的判斷，然后是Caratheodory的方案，從卡氏條件出發判定測度集類，并比較兩種方案的異同之處。最后對測度開集和Cantor集中可能出現的模糊地方做出必要地注記。

關鍵詞：Lebesgue測度;Lebesgue方案;Caratheodory方案;Cantor集;有理點;

1.引言

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，數學作為一門從公理進行演繹和歸納的學科，具有極其完備的邏輯結構。本文主要就是從L測度建立的兩條主線出發，來欣賞這座奇偉的數學大廈，分析兩者的聯系，并在最后對Cantor集和開集的一些可能出現的問題做出一些注記。

關于Cantor集：

一般的教科書在測度理論中都會介紹著名的Cantor集，也會批注Cantor集并不僅僅由單點集所組成，但從割掉開區間來形成Cantor集的過程上來看，似乎它又只有單點。不妨假設它真的只有單點，那么因為它是閉集，且勢為c，那它的補集也就是一個有限的開集被它劃分為了不可數段，這顯然是與空間中的開集構造定理是矛盾的。

因此，前面的想法也是一種“錯覺”，事實是如果只是“一個個”去掉開區間是“不夠”的！

因為Cantor集不僅僅包含開區間的邊界點！Cantor集還包含了這些點的聚點，而這些聚點比邊界點要多得多。

這樣思考就不難理解Cantor集的勢了

參考文獻

[1]實變函數論第三版江澤堅，吳智泉，紀有清著，高等教育出版社

[2]實變函數與泛函分析 第二版 夏道行，吳卓人，嚴紹宗，舒五昌，高等教育出版社

[3]實變函數基礎 侯友良 武漢大學出版社

[4]實變函數基礎 劉懷厚 武漢大學出版社