一題多解案例剖析

很多幾何問題，都有不同的解法，思維方式不同，得到的解法也各不相同。給學生這樣一道題目，學生思維很開闊，提供了幾種不同的解法，現將解法整理歸納，與同行交流。

一、 原題呈現

如圖，在△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上的一動點（不與點B、C重合），過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足為D、E，CF是AB邊上的高，求證：PD+PE=CF。

二、 解法探究

解法1（作垂直，截長來轉化）：過點P作PG⊥CF于點G。易證Rt△PGC≌Rt△CEP（AAS），因此CG=PE，所以CF=GF+CG=PD+PE。

解法2（作平行，截長來轉化）：過D作DH∥BC交CF于點H。易證Rt△DFH≌Rt△CEP（AAS），因此HF=PE，所以CF=CH+HF=PD+PE。

解法3（作垂直，補短來轉化）：過點C作CK⊥DP，交DP的延長線于點K。易證Rt△CKP≌ Rt△CEP（AAS），因此PK=PE，所以CF=DK=PD+PK=PD+PE。

解法4（巧割補，求面積得相等）：連接AP。由S△APB + S△APC = S△ABC，得[12]AB·PD + [12]AC·PE =[12]·AB·CF，又因為AB=AC，即PD+PE=CF。

解法5（底角等，妙用三角函數）：在Rt△BDP中，PD = PB·sinB；在Rt△BFC中，CF = BC·sinB；在Rt△CEP中，PE = PC·sin∠ECP，又因為AB=AC，因此∠B =∠ECP，所以sinB=sin∠ECP，因為BC=PB+PC，即 BC·sinB=PB·sinB + PC·sin∠ECP，所以CF=PD+PE。

解法6（得相似，用比例巧化歸）：易證△BDP∽△BFC∽△CEP，因此 [PDPB]=[CFBC]=[PEPC]，利用比例的性質可得，[PD+PEPB+PC]=[CFBC，]即[PD+PEBC]=[CFBC，]所以PD+PE=CF。

三、解題反思

這6種方法中的前三種解法是求證“一條線段等于另外兩條線段和”問題的通法，截取較長的線段，或者延長較短的線段。解法4由高想到面積，即利用面積割補是眾多解法中最特殊的解法，更是所有解法中最本質的解法。其本質就在于面積的轉化，將大的三角形的面積轉化為兩個小的三角形的面積之和，回到數學最本質的根源。轉化、化歸都是一些基本的數學思想方法，除此之外，還有數形結合、分類、方程、模型思想等，數學思想蘊涵在數學知識形成、發展與應用中，因此，我們每一位教師在平時要精心設計教學活動，在教學環節中滲透數學思想，引導學生通過獨立思考、合作交流，尋求到數學的本質，逐步感悟數學思想。

對于本題的不同解法，問題的切入點不同，則解法不同，解法5三角函數法從等腰三角形的兩個底角思考，解法6比例化歸由三個三角形都是相似三角形切入，解法不同，則思維方法不同，這就要求學生不斷擴展思維能力，及時矯正解題中暴露的問題，彌補不足，鞏固已有，而知識體系的構建可以幫助學生從不同角度思考解題方法，訓練學生的發散思維，使得解題方法最優化。同時，變式練習可使學生在已有的數學基礎知識與基礎技能下，不斷提高發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力。

（作者為江蘇省泰州市姜堰區張甸初級中學教師）