遵循認知規律，優化數學課堂教學

何文勝

【摘要】生活中的優化問題集函數應用于一身，解決相關問題不僅能較好地提高學生分析問題、解決問題的能力，而且使學生了解數學在實際生活中的應用，具有非常好的現實意義.如何提高其課堂教學實效？反思整個教學實踐歷程，采取“導學案”形式分散重難點，注重課堂生成，可以提高課堂效率.

【關鍵詞】高中數學；優化問題；合理安排；課堂生成；課堂效率

本著既尊重教材和課標要求，又從學生實際出發，遵循學生的認知規律，創造性地使用教材的理念，筆者對教材進行二度開發.本文就此做一介紹，以期拋磚引玉.

一、引導學生深入閱讀教材，提煉有效信息，激發求知欲

應用題主要的難點就在于，題目背景復雜，數學信息隱藏在繁雜的文字材料中.從最近幾年的全國各地的高考原題看，一道應用題的閱讀量都在200字左右.所以，在教學時，要引導學生認真閱讀教材中的數學材料，并深入理解其中的內涵，準確把握句段之間的緊密聯系，并學會用數學符號、圖形、圖表等數學語言來理解數學概念、公式、定律中的深刻意義，并且還要善于聯系生活中的實際案例來論證教材中的各項定律、法則、公式等，從而深刻地理解教材中的數學閱讀材料，掌握數學知識的內涵與外延，逐漸訓練學生的數學解題思維.

在“生活中的優化問題舉例”的教學中，為了更好地解決內容多、課時少，努力提高課堂效率.采用“導學案”形式，讓學生課前按教師要求預習相應內容，帶著問題進課堂，師生共同解決問題出課堂，教學中重視學生在課堂教學中的“參與度”.

課前，學生按要求閱讀探究教材.教師給出依據教材內容編制的思考提綱引導學生怎樣獲取有效數學信息，學生憑借已有知識和技能初步了解教材中的基本內容，它不僅能使學生步入認知領域，而且能引發學生向情感領域探求的欲望，培養自學能力.“生活中的優化問題”思考提綱主要引導學生思考兩個方面的問題：一是引導學生讀題、審題，找出未知與已知的關系，建立數學模型，寫出解析式；二是引導學生求解所列函數的最值.

二、以問題為主線，串聯學生思維

從復雜的文字背景材料中獲取數學信息，對學生來說本身就是一大困難.（附教材P101例1學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳.現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？）為分解難點，突出重點，設計問題鏈，課前發給學生的閱讀思考提綱如下.

1.四周空白面積S與整個矩形面積和版心面積有何關系？設計海報的尺寸即確定其高和寬.

2.教材中設版心的高為x dm后，是如何列出函數解析式的？定義域是如何確定的？

3.你能總結利用導數求函數S（x）=2x+512x+8，x>0的最小值的步驟嗎？

4.你還可以利用什么方法求上述函數的最小值？

課堂生成1以閱讀思考提綱為載體，生生之間、師生之間共同討論，澄清疑點，教師板書重點及注意點.本節課教師引導學生歸納知識要點，板書如下.

1.幾何中的優化問題，常用幾何圖形的周長、面積、體積公式或其他性質建立函數解析式，定義域由線段的長大于0而得.

2.利用導數求最值的步驟是：求f′（x）→由f′（x）的正負→確定f（x）的增減→結合f（x）的圖像求最值.

3.利用基本不等式求最值應注意：一正、二定、三相等.

課堂生成2即有層次的題組練習.教師依據教材中的各類習題或相關資料，精心選編、改編或創編由淺入深、循序漸進的課堂練習題，以滿足所有學生（特別是基礎較差的學生）的成功欲，使學生在教師引導下的解題中提高興趣，逐步形成技能.為了使學生進一步掌握幾何中的優化問題的解題技巧，逐個出示如下練習題，并提問學生口答或板演，讓學生暴露思維弱點，為教師講解準備素材.

問題1要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則其高為（）.

A.2033 cm B.100 cm C.20 cm D.203 cm

解析設高為x cm，則在Rt△ABO中，

BO=400-x2.

由圓錐的體積公式得

V（x）=13π（400-x2）·x，

即V（x）=-13πx3+400π3x（0

所以V′（x）=-πx2+400π3，

由V′（x）=0得x=2033∈（0，20），選A.

強調：在實際問題中，由f′（x）=0得到一個解，若這個解在f（x）的定義域內，則這個根處的函數值就是所求f（x）的最值.

問題2如圖，要設計一個矩形廣告牌，含有大小相等的左右兩個矩形欄目，這兩欄目的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄目之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸（單位：cm），才能使矩形廣告牌面積最小.

解析設廣告牌的高為x cm，寬為y cm，

則（x-20）·y-252=9000y=18000x-20+25，

所以廣告牌面積為

S（x）=xy=x18000x-20+25=18000xx-20+25x，x>20.

解法一（利用導數求解）

因為S′（x）=18000（x-20）-18000x（x-20）2+25

=-36000（x-20）2+25=25（x+100）（x-140）（x-20）2.

由S′（x）>0得，x>140，

所以S（x）的單增區間為（140，+∞），同理，S（x）的單減區間為（20，140），

所以當x=140時，即廣告牌的高為140 cm，寬為175 cm時，廣告牌的面積最小.

解法二（利用基本不等式求解）

因為S（x）=18000xx-20+25x=36000x-20+25（x-20）+18500，

而x>20，即x-20>0，

所以S（x）≥236000×25+18500=24500，

當且僅當36000x-20=25（x-20），即x=140時等號成立.

所以當x=140時，S（x）的最小值為24500 cm2.

問題3（2011年江蘇高考）請你設計一個包裝盒.如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設AE=FB=x（cm）.

（1）若廣告商要求包裝盒的側面積S（cm2）最大，試問x應取何值？

（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

解析注意引導學生立體幾何平面化，即從左邊平面圖形中求得右邊立體圖形所要的線段長.

（1）因為EF=60-2x，所以陰影部分的等腰直角三角形直角邊長為60-2x2，在Rt△BFG中，FG=2x，

所以包裝盒的側面積為

S=4×60-2x2×2x=-8x2+240x.

由EF=60-2x>00

因為拋物線開口向下，且對稱軸x=24016=15∈（0，30），

所以當x=15時，側面積S最大.

（2）包裝盒的容積為

V=（2x）2·60-2x2=-22x3+602x2，0

所以V′=-62x2+1202x=-62x（x-20）.

當00，V單增，當20

所以當x=20時，V取最大值，此時，高與底面邊長的比值為60-2x2∶2x=12.

課堂完成，師生共同進行課堂小結.其目的是培養學生歸納小結能力，及時復習所學知識.

三、總結歸納，提升思維品質

本節課可引導學生做如下小結.

1.幾何中的優化問題，常用幾何圖形的周長、面積、體積公式或其他性質建立函數解析式，定義域由多條線段的長大于0（即保證實際問題有意義）求得.

2.求函數的最值時，可根據所列函數解析式靈活選擇二次函數法、基本不等式法及導數法求解，不過導數法求解是通性通法.

解決問題的具體步驟：

（1）通過閱讀，明確題目的目標；

（2）找出數量關系，對得到的數學關系進行分析、聯想，抽象出一個或幾個數學模型，把實際問題轉化為數學問題；

（3）列出函數關系；

（4）根據函數關系式的不同類型，求出函數的最值.

利用“導學案”的教學方式，能較好地體現學生的主動性、主體性，教師的主導性與之相融合，從簡單到復雜依次遞進推出有階梯的題組，遵循學生的認知規律，讓學生首先能理清思路、找出題目的目標要求，逐漸能找出題目中的數量關系，進而列出函數關系，最終能根據不同類型的函數表達式求出最值.

同時，使學生在知識與技能方面也經歷了四個階段：一是誘導階段，即通過“課前有目的性預習”使學生初步了解教材中的基本內容；二是解決問題階段，即通過“課堂生生、師生討論”讓學生在教師的逐步引導下自己解決問題，進一步理解、掌握教材中的重、難點內容；三是內化階段，通過在教師的引導下走模式化途徑解決實際問題，最后能擺脫固有模式，化有形于無形內化成自己的能力；四是發展提升階段，即通過“變式練習、小結提升”發展學生的技能，使得學生的能力得到質的飛躍.在引導和講解過程中，也做到了時刻關注學生疑難點、易錯點，以問題為主線，以學生為主體，進而提高學生的應用題學習效率.

【參考文獻】

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