數(shù)學(xué)方法在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用

摘要：靜電場(chǎng)中的最值問(wèn)題是高考?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)之一，解決此類問(wèn)題時(shí)，若想到并運(yùn)用一些特殊的數(shù)學(xué)解題方法，將會(huì)收到意想不到的效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；靜電場(chǎng)；應(yīng)用

一、矢量三角形形法

例1. 如圖1所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，將質(zhì)量為 ，帶電量為 的一帶電小球由靜止釋放.如果帶電小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線，該直線與豎直方向的夾角為 ，那么勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小是（不計(jì)空氣阻力）（ ）

A.唯一值是

B.最大值是

C.最小值是

D.以上說(shuō)法均不對(duì)

分析：帶電小球的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線，說(shuō)明小球受的合力沿速度方向.對(duì)小球進(jìn)行受力分析，除受重力外，還受電場(chǎng)力，由于勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向不確定，電場(chǎng)力的大小和方向隨之不確定.根據(jù)平行四邊形法則， 確定，以 為對(duì)角線，可以做出無(wú)數(shù)個(gè)矢量三角形，只有當(dāng) 時(shí)， 才有最小值，如圖2所示，即 ，所以 .

點(diǎn)評(píng)：合力方向及其中一個(gè)分力大小和方向確定，計(jì)算另一個(gè)分力時(shí)，處理此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確變量與不變量之間的關(guān)系，根據(jù)矢量三角形的特點(diǎn)，問(wèn)題就可迎刃而解.

二、不等式法

例2. 計(jì)算在帶等量同種點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的最大場(chǎng)強(qiáng).

分析：設(shè)兩點(diǎn)電荷 、 的帶電量均為 ，相距為 ，在兩點(diǎn)電荷連線中點(diǎn) 處合場(chǎng)強(qiáng)為零.連線的垂直平分線一直延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處，一般情況下規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零.從 點(diǎn)沿中垂線至無(wú)窮遠(yuǎn)處，場(chǎng)強(qiáng)的變化應(yīng)為從零先增大后又減小至零，故必存在一個(gè)最大值.

解析：設(shè)在該中垂線上任意一點(diǎn) 處，存在場(chǎng)強(qiáng)最大值，如圖3所示，設(shè) 則 、 兩點(diǎn)電荷在 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小均為 .根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理 .令 （ >0），等式兩邊平方得 ，因?yàn)?>0， >0，根據(jù)均值不等式 ，即 .當(dāng)且僅當(dāng) ，解得 ， .故 .

點(diǎn)評(píng)：該題考查了場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)知識(shí)中的不等式就可以解決.

三、求導(dǎo)法

例3.分析沿等量同種點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的場(chǎng)強(qiáng)變化.（見(jiàn)圖3所示）

解析：設(shè)兩點(diǎn)電荷 、 的帶電量均為 ，相距為 ， 為 .設(shè) 處的合場(chǎng)強(qiáng)為 ，

.對(duì) 求導(dǎo)數(shù)， ，令 ，得 .所以 為場(chǎng)強(qiáng)的極大值點(diǎn).因此，沿等量同種點(diǎn)電荷連線的垂直平分線上的場(chǎng)強(qiáng)變化為由 點(diǎn)到兩側(cè) 處有極大值，在 點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零.

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求解物理量的最值問(wèn)題，方法簡(jiǎn)便，物理意義也比較明確.

四、臨界值法

例4. 一束電子流在經(jīng) 的加速電壓加速后，在距兩極板等距離處垂直進(jìn)入平行板間的勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖4所示，若兩板間距 板長(zhǎng) .那么，要使電子能從平行板間飛出，兩個(gè)極板上最高能加多大電壓？

分析：電子進(jìn)入兩種不同的電場(chǎng)，即加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng).在加速電壓一定時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓 越大，電子在極板間的偏距越大.當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓增大到使電子剛好擦著極板的邊緣飛出，此時(shí)的偏轉(zhuǎn)電壓即為最大電壓.

解析：電子在加速電場(chǎng)，由動(dòng)能定理得 ；電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，電子恰能從平行板邊緣飛出時(shí)，偏距 ，即 .代入數(shù)值得 .

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子恰能飛出極板和恰能不飛出極板，對(duì)應(yīng)著同一臨界狀態(tài)-----“擦邊球”，所以找準(zhǔn)臨界值是解題的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李長(zhǎng)明.初等數(shù)學(xué)研究[M] .北京：高等教育出版社，2009.58

作者簡(jiǎn)介：蘇顏璞（1977-），男，甘肅靖遠(yuǎn)人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，現(xiàn)從事高二物理教學(xué)研究.