“由因推果”與“推果求因”拓撲學教學理念探究

【摘要】拓撲學的概念、理論高度抽象，將“由因推果”的教學理念融入教學，由空間的本質出發借助度量空間引出拓撲空間。同時，通過在教學中滲透“推果求因”的理念，拓撲學的定理、結論又可以反過來說明其他學科中的一些問題。

【關鍵詞】教學理念；拓撲學；由因推果；推果求因

一、概念

教學理念是對認識的集中體現，同時也是人們對教學活動的看法和持有的基本的態度和觀念，是人們從事教學活動的信念。它是從先進的教學理論中演繹出來的有關教學活動的理性認識，是“教學應該怎樣以及何以需要如此”的理想化認識，反映著人們對教學實踐的價值期待和理想追求。教學理念負有引領教師追求教學理想的使命，這就決定了它必然具有前瞻性的特點。教學理念的形成過程和影響教學實踐的內隱機制表明，它具有鮮明的個體性特點。在一定時期內或特定情境中，教學理念是相對穩定的，隨著社會需求的變化和教學改革的深入，教學理念又表現出動態發展的一面。其核心思想就是教學的效益。

“由果推因”及“推果求因”的教學理念的實質是引導學生學會分析問題和解決問題的思維方法，對知識要“知其然”還要“知其所以然”。原因在先，結果在后（簡稱先因后果）是因果聯系的特點之一，可原因和結果必須同時具有必然的聯系，即二者的關系屬于引起和被引起的關系，“在此之后”不等于“由此之故”。依據謎面所述的事實，作為一種結果提出來，由謎底分析它的緣何關系，或說明它的原因，此種謎法叫“推果求因”。

二、兩種教學理念在拓撲教學中的體現

拓撲學是一門抽象數學是現代數學的基礎。起點高、難度大，無論是概念或論證均較抽象。拓撲學研究拓撲空間在同胚映射下不變的性質，即拓撲性質。所謂一個空間就是在一個集合中給定某種結構，拓撲空間是具有這樣的結構的集合，使得能在其中定義映射的連續性，也就是要指明集合中什么樣的子集是“開集”。

且三種度量是等價的。那么對于同樣構成形式的拓撲空間而言，自然一個集合上可以賦予不同的拓撲，形成不同的拓撲空間，從而引出平庸空間、離散空間的定義，再進一步借問題“有沒有介于最小和最大拓撲之間的中間拓撲”引出有限補、可數補空間等；仿照度量空間的相關知識體系定義拓撲空間中點的鄰域、鄰域系；集合的聚點、孤立點、內部、外部、閉包；基、子基；拓撲空間序列等概念。拓撲空間的相關概念和結論之所以能夠對照度量空間闡述也是基于兩種空間之間的范疇關系，因為二者本質都是空間，這便是“由因推果”的教學理念。

同時，也正是由于拓撲空間的架構體系中“開集”是不依附于度量，所以導致拓撲空間中序列的收斂性質與在數學分析中熟悉的有很大的差別。比如，由于平庸空間中任何一點有且只有一個鄰域即整個集合自身，所以平庸空間中任何一個序列都收斂，并且收斂于這個空間中的任何一點。自然，極限的唯一性當然無法保證了。

另外，設R是實數集，若R作為實數空間，則R上每一個開區間（a，b）（這里a

度量空間是拓撲空間中最為重要的一類。根據可度量化空間的定義，我們知道只含有限個點的度量空間都是離散的度量空間，離散度量空間的每一個子集都是開集，所以每一個只含有限個點的度量空間作為拓撲空間都是離散空間。然而一個平庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是離散空間，因此含有多于一個點的有限的平庸空間不是可度量化的。由此可見，拓撲空間比度量空間的范圍要廣泛。在拓撲空間中有連通性的概念，我們已經證明了：（1）設E是實數空間R的一個子集，E是一個連通子集當且僅當E是一個區間。（2）設 是一個連通空間， f：X→R是一個連續映射，則f（X）是R中的一個區間。所以據此可以立即推出數學分析中的介值定理和不動點定理，找到其之所以成立的根本原因。這其中體現了“推果求因”的思想。當然，也印證了“由因推果”與“由果推因”兩種教學理念在教學中是相互融合的，不可分割的。

三、小結

數學教學是一種以數學為特點的思維活動的教學，也就是說不僅要求學生掌握數學科學的結論，而且要求學生參與獲得知識的過程。讓學生在學數學知識的過程中同時學到了科學的思維方法，掌握研究數學的思想方法。這種把知識與思維結合起來的教學稱為思維教學。從教育的角度來看，數學的思想方法比數學知識更重要。因此在教學中要立足于培養學生能力，開發學生的智力，把研究數學的正確思維和方法作為數學教學的重要內容，使數學課真正成為數學思維活動過程的教學。

基金項目：2015年度河北省教育科學研究“十二五”規劃課題“應用型人才培養目標下拓撲學教學改革探究”，項目編號：1506026

【參考文獻】

[1] 段作章. 教學理念的內涵及特點探析[J]. 教育導刊， 2011，11（10）：15-18.

[2] 熊金城. 點集拓撲講義[M]. 北京： 高等教育出版社， 2011：58.

【作者簡介】

王沖（1981—），女，河北保定人，碩士研究生學歷，滄州師范學院數學與統計學院講師，主要研究方向：代數拓撲與微分拓撲。