“變態”的壓軸題

葉林

摘 要：中考壓軸題具有綜合性強、信息點多、文字量大和邏輯性強等特點，使許多原本“實力”很強的學生望而卻步！因此，此文精選了兩道“壓軸題”，通過抽絲剝繭般的分析，引導學生學會審題、運用數學的思維方法解題，感悟學習數學時夯實基礎、總結提高的重要性；在提升學生分析問題、解決問題的能力的同時，幫助學生樹立信心、消除對壓軸題的畏懼之心。

關鍵詞：心態 數學思想 以問題為中心 悟和信心

一到初三下學期，每周進行一次模擬考，這不，小伍跑來：“葉老，這兩道壓軸題好變態”。

“別動不動說別人變態，也許是你見識不夠廣呢！”。

之前，我在班上跟學生講過家庭教育方面的一個例子：當孩子摔倒，有些家長為安撫孩子，故作打將孩子拌倒的物體，可能是一塊石頭、也可能是一張凳子…..邊打還邊埋怨。看似有效，孩子不哭了嘛！可是，這樣培養出來的孩子，今后只要出現失誤或挫折時，他會習慣地從外部找原因，怨這怨那。看不到自己的問題，自然不會再有多少長進。

一次試卷講評，很多孩子在一道最短距離問題上丟分，講評時，小豪立馬露出厭惡之情，見此情景，我問小豪：“軸對稱、兩點之間線段最短、含30°的直角三角形的三邊關系，你熟悉嗎？”

“熟悉啊！”

“你說說看”。

“……”。（此處省略60字）

接下來，我一步一步引導，用這幾個小豪熟悉的知識點搞掂了這道題，小豪面露愧色，我又問：“這道題還變態嗎？”

“不了，只怪我自己沒想到”。

“學習中遇到難題，遇到挫折，其實很正常，關鍵是要擺正心態，強大自己。”

好了，下面，我們來看看這兩道小伍口中“變態”壓軸題所涉及的知識點和方法：

[題一]如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過點M作MN∥BC交AC于點N，以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN. 令AM=x.

（1）填空：當x=__________時，矩形AMPN的面積等于△ABC的面積？

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？

（3）在動點M的運動過程中，記△MNP與四邊形BCNM重疊的面積為S，試求S關于x的函數表達式.

解：（1）易證：△ABC∽△AMN

∴

∴

由

得

解得

（點評：此問是一基礎題，涉及的知識是相似和圖形的面積公式.）

（2）過點O作OH⊥BC，過點M作MH⊥BC

（點評：此處是個易錯點，有同學誤將點P當作切點。別怪出題人，好好看題，別人壓根沒說點P是切點.）

∵MN∥BC

∴OH=MH

易證：△BMH∽△BCA

可得MH=

由⊙O與直線BC相切，可得

OH=

∴

解得

（3）當時，

當時，

（點評：此題涉及分類討論的數學思想，注意①把握x=2這個“界”，②體會圖形從量變到質變的變化過程，也即重疊部分的圖形從三角形變成梯形。在具體計算中，注意計算梯形MEFN的面積有多種方法。解完題之后，不妨小結一下，圖中出現了哪些圖形？如：矩形AMPN；□MBFN；□MECN；還有眾多三邊之比為3：4：5的相似三角形（包括全等三角形）…….）

[題二]如圖，拋物線交x軸于A（-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點.

（1）求拋物線解析式及點D的坐標；

（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點P的坐標；

（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應點Q. 是否存在點P，使Q恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標，若不存在，說明理由.

解：（1）將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線，得

解得

∴

（點評：壓軸題的第一問，這可是一道基礎題：根據點的坐標求拋物線的解析式. ）

∴點C（0，2）

由 解得

∴點D（3，2）

（2）若AD為平行四邊形的對角線，則

AE∥PD，且AE=PD

∴點P（0，2）

若AD為平行四邊形的一條邊，則

EP∥AD，且EP=AD

∴P的縱坐標為2或-2

∴點P（0，2）

再由

解得

∴

綜上所述，

（點評：此題涉及分類討論和數形結合的數學思想。從問題“以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形”中，發現圖形的不確定性，須進行分類討論；再運用數形結合的思想，先“形”后“數”，以“靜”制“動”——根據定點A、D作出動點E、P的位置，再具體求解。）

（3）設，則

（點評：擒賊先擒王，抓住關鍵點P，其它點隨之而動.）

∵∠CQP=∠CQP=90°

直線CQ的斜率為

直線PQ的斜率為

由，得

（點評：（1）抓住“折疊”的幾何特征：

CQ=CQ

∠CQP=∠CQP=90°

（2）熟記知識點：直線斜率

兩線垂直←→

看似復雜的問題，只要有方法、再加上一點耐心和毅力，Its a piece of cake.）

解得

∴

別只看解題過程，好好看看“點評”，哪有什么秘籍、高科技？全部是基礎知識、基礎題型，一道所謂的壓軸題不過是若干基礎題的組合而已！夯實基礎，多悟！

另外，我還要提醒一點，有些同學上課聽懂了，一到考試就不行了。為什么？我們想想，上課和考試有什么不同？

上課是：知識—例題—練習，教師以“知識”為中心，設計和選擇題目，目的是鞏固知識。

考試是：只有題目，沒有例題可模仿，沒有知識可提示，解題須以問題為中心，選擇恰當的方法，調用所需知識。

所以，平時，我們做完一道題，要多悟！比如：做了一道用勾股定理求線段長的題后，再多想一步，求線段長還有哪些方法？可能還會涉及哪些知識？

“其實人跟人都是差不多的，最多也就是差一步而已。”

——2004、2005、2008年三度問鼎胡潤百富榜之大陸首富黃光裕