如何突破一元一次方程的應用題

李春燕

摘 要：當下很多學生害怕學習一元一次方程應用題，本文從心理方面和知識、方法方面指導學生，幫助學生準確無誤地解決一元一次應用題，為后續的二元一次方程組應用題以及分式方程應用題做鋪墊。

關鍵詞：學生 應用題

很多七年級學生對學習一元一次方程應用題感到很恐懼，大部分學生一遇到題目就感到頭痛，無從下手，甚至是九年級的學生也會有這種現象。初中三年的數學學習基礎始于七年級，對于剛升上七年級的學生來說，從小學的形象應用題到抽象應用題這個過渡期，爭取在七年級第一學期末突破應用題，這樣，七年級的學生升至八、九年級后，至少可以減輕學生對應用題的恐懼感。前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基提出“一個好的教師，是一個懂得心理學和教育學的人。”因此，我從心理和知識方法兩方面對學生進行指導，雙管齊下。

一、心理方面的指導

偉大的前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基提出“教育者應當深刻了解正在成長的人的心靈……只有在自己整個教育生涯中不斷地研究學生的心理，加深自己的心理學知識，才能夠成為教育工作的真正的能手。”我們的首要問題是談化學生對應用題的恐懼感。從難度上看，小學的應用題涉及量較小，他們在小學階段已經學習了一定類型的應用題，涉及到工程、行程、數量、增減量、平均數等類型的應用題，小學階段是學習用算式解決應用題，而上了七年級，要求用一元一次方程解應用題，初中的應用題涉及量較多，范圍廣，實用性強，無形中增加了應用題的難度。另一方面，八九年級繼續學習用方程解應用題，七年級的應用題學習是在初中三年的應用題學習起著承上啟下的作用。因此，我及時做好他們的思想工作，告訴他們初中三年都要求學習用方程解同樣類型的應用題，讓他們明確寧愿一年辛苦總比三年辛苦劃算得多，鼓起勇氣克服解應用題的難點，題目越是多量越是要鎮定審題。至于設計題目時要迎合學生的認知規律，從簡單的題目出發，不斷鼓勵學生認真聽課，認真做題，通過這樣不斷地訓練——點撥——訓練——提升，學生在其中不斷獲得成功感，見證自己努力后的提高，如此良性循環，學生解應用題就充滿信心。

二、知識、方法方面的指導

解應用題的步驟分為審題、設未知數、分析題意、列方程、解方程、答。以下一一簡述如何突破一元一次方程的應用題。

（一）審題

審題是解應用題的第一步，要學生明確審題的重要性：題目就是“叫”和“教”學生怎樣解題，題目就是以文字的形式“告訴”學生哪些是等價關系。在審題的過程中，明確題目的類型，常見的一元一次方程應用題類型有行程問題、工程問題、航行問題、銷售問題、調配問題、分配問題、比賽記分問題、數字問題、配套問題、增長率問題、比例問題、幾何圖形問題、方案設計與成本分析問題、年齡問題、收費問題等，針對這么多類型的應用題必須做到及時“對癥下藥”，涉及行程問題的就用行程公式或公式的變形，涉及工程問題的就用工程公式或公式的變形，如此類推，做到及早鎖定思考空間。

（二）設未知數

設未知數有兩種方法：直接設和間接設。

1.直接設

直接設是指題目求什么量就設什么量。題目只求一個量，而且這個量與已知的量有直接的關系，則采用這種方法。

例1：甲、乙兩人相距60米，相向而行，甲從A地每秒走3米，乙從B地每秒走2米，那么幾秒后兩人相遇？

分析：本題是相遇問題，求相遇時間，由于這里的相遇時間與二人速度、距離有直接的關系，即：距離=相遇時間×速度和。所以，該題可以設為：設x秒后兩人相遇。

例2：某校7000元購進35套桌椅，每把椅子65元，求每張桌子是多少元？

分析：本題是總價問題，求桌子的單價，由于這里的桌子單價與椅子的單價、桌椅的數量、總價有直接的關系，即：總價=（桌子單價+椅子單價）×數量。所以，該題設為：設每張桌子是x元。

2.間接設

間接設是指不直接設題目要求的量，而是設與題目所求量相關的量。

例3：一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？

分析：本題是船在順水、逆水航行的問題，公式為：船在順水航行的速度=船在靜水中的速度 +水流速度；船在逆水航行的速度=船在靜水中的速度-水流速度。本題中要求距離但缺少船在靜水中的速度，抓住本題等價關系：兩碼頭的距離相等，根據公式（船在靜水中的+水流速度）×順水航行的時間=（船在靜水中的速度-水流速度）×逆水航行的時間，船在靜水中的速度和兩碼頭的距離都是未知量，要求兩碼頭的距離就必須先求出船在靜水中的速度方可完題，因此，本題應采用間接設法，即：設船在靜水中每小時航行x小時，則兩碼頭的距離是（x+3）×2千米。

如果題目中要求兩個量，就通常設“比”，“是”，“為”字后面的量為未知數，這樣，學生對于求兩個量的應用題，就有了設的線索了。

例4：甲、乙兩人騎自行車同時從相距65千米的兩地相向而行，2小時后相遇。已知甲騎車每小時比乙每小時多走2千米，求甲，乙兩人的速度。

分析：該題要求甲，乙兩人的速度，根據題意可以設二者中的一個為未知數，但是為了學生容易理解（大部分學生接受順向思維多過逆向思維），我們不妨設“比”字后面的乙的速度為未知數，而甲速度直接根據題目所述比乙多走2千米，即：設乙每小時走x千米，則甲每小時走（x+2）千米。

（三）分析題意

分析題意是建立在審題基礎上。為了提高學生的分析能力，在講授應用題之前讓學生熟練相關公式以及公式的變形，結合題意以及所設的未知數進行列表格，列表格是把應用題的抽象化解為直觀，大大降低應用題的難度。對于初一的學生剛剛接觸列表格，我具體的做法如下：教師必需親自示范幾次完整地列表格，隨后列不完整的表格讓學生填空，最后完全由學生動手列完整的表格，通過這樣循序漸進的訓練，學生對列表格有一定的熟練程度。學生學會了列表格為下一步正確列方程邁了重要的一個臺階。

例3：一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？

解：設船在靜水中每小時航行x小時，則兩碼頭的距離是（x+3）×2千米。

例4：甲、乙兩人騎自行車同時從相距65千米的兩地相向而行，2小時后相遇。已知甲騎車每小時比乙每小時多走2千米，求甲，乙兩人的速度。

例5：甲車隊有50輛汽車，乙車隊有41輛汽車，如果要使乙隊汽車數比甲隊汽車數的2倍還多1輛，應從甲隊調多少輛到乙車隊？

解：設應從甲隊調x輛到乙車隊。

（四）列方程

綜合上述的審題、設未知數、分析題意，解應用題最重要的一步是列方程，也是體現應用題的難點所在。有部分學生懂得列表格，但是就不懂得列方程，說明學生不會抓住題目的等價關系，或者是不能把等價關系“翻譯”為列方程。因此，我的做法是引導學生學會找等價關系，把等價關系用簡單的文字式子表示，最后根據表格內容把文字式子“翻譯”為列方程。

1.“先讀先寫”

例5：甲車隊有50輛汽車，乙車隊有41輛汽車，如果要使乙隊汽車數比甲隊汽車數的2倍還多1輛，應從甲隊調多少輛到乙車隊？

分析：題目的等價關系句是“如果要使乙隊汽車數比甲隊汽車數的2倍還多1輛”，把“比”字看做等號，乙在前甲在后，它的文字式子為：乙=2甲+1，再把這個文字式子“翻譯”為列方程：

解：設應從甲隊調x輛到乙車隊。

41+x=2（50-x）+1

2.“怎樣完成工程”

例6：某工程由甲、乙兩隊完成，甲隊單獨完成需16天，乙隊單獨完成需12天。如先由甲隊做2天，然后兩隊合做，問再做幾天后可完成這項工程？

分析：該題“先由甲隊做2天，然后兩隊合做”，這樣完成工程，根據題意求甲乙合做的天數，由于這里沒有具體的工作量，因此把工作總量看作“1”，等價關系為：甲2天的工作量+甲乙合做的工作量=1。

解：設再做x天后可完成這項工程。

題目變式：如果例5的問題改為“一共需要多少天才完成這項工程？”

分析：這里要求的是完成這項工程的總時間，上述的等價關系仍不變。

解：設一共需要x天才完成這項工程。

3.巧用“比例”關系

針對配套問題，很多學生不懂得怎樣列方程以及把等價關系“翻譯”為方程，我們可以巧用“比例”進行理順配套問題的數量關系，在利用交叉相成列出一元一次方程。

例7：某車間有28名工人生產螺栓和螺母，每人每小時平均能生產螺栓12個或螺母18個，應如何分配生產螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）？

分析：一個螺栓配兩個螺母可以理解為螺栓：螺母=1：2，列表格如下：

由于列出這個分式方程，通過交叉相乘化為一元一次方程得：。

解：設安排人生產螺栓，安排（28-）人生產螺母才能使螺栓和螺母正好配套。

（五）解方程

我們對教材進行了適當的調整，先系統地講授如何解一元一次方程，再講授一元一次方程應用題。對于一元一次方程應用題，當學生列出了方程以及解完后，把結果代進方程兩邊檢驗是否其解。

（六）答

解應用題的最后一步是答，注意有兩種情況，第一種情況是直接設法的就是問什么設什么就答什么，第二種情況是間接設法的必須就方程的解進行“加工”后才是最終的結果，例如，上述的例3，求出x的值，再代進式子（x+3）×2才是兩碼頭的距離。

應用題是很多學生的弱項，也是選拔學生的其中一種題型，我們只有系統地教授給學生，采取邊講邊練的形式循序漸進地開展下去，為了緩和課時有限與應用題知識點較難的矛盾，為了初中數學三年的應用題學習，我認為我們站在一線的七年級老師不要因為問題難而逃避不講，而是要采用從淺入深，反復講練，循序漸進等方式結合心理輔導來提高學生的應用題學習。千里之行，始于足下，我們要相信我們的學生，相信學生能熟能生巧，相信應用題不再是學生的頭痛題。