Matlab在微分方程中的應(yīng)用

摘 要：Matlab是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，是用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境。利用Matlab強(qiáng)大的圖形處理功能，可以繪制函數(shù)圖形，用于數(shù)據(jù)可視化，并利用豐富的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)來求解各種類型的微分方程，展示了Matlab工具在微分方程計(jì)算中的優(yōu)越性。本文首先介紹了Matlab在簡單一階常微分方程中的應(yīng)用，其次介紹了在含指數(shù)微分方程中的應(yīng)用，之后介紹了其在解決微分方程數(shù)值解問題中的應(yīng)用，并簡單介紹了Rumge-Kutta法，梯形法則，同時(shí)運(yùn)用了Matlab出色的繪圖功能，將所求解問題可視化，清晰直觀。

關(guān)鍵詞：Matlab 微分方程 Runge-Kutta法

MatLab軟件在作圖和數(shù)值計(jì)算上有其它軟件無法比擬的優(yōu)勢，例如，閆金亮[1]的文獻(xiàn)介紹了Matlab在求解常微方程、利用Matlab來描繪常微分方程解曲線及方向場、利用Matlab描繪常微分方程奇解的幾何意義等的軟件用途，王亞男[2]的文獻(xiàn)介紹了通過Matlab軟件的輔助，設(shè)計(jì)程序，用歐拉公式計(jì)算微方程的近似解與解析解，用二階-庫塔公式計(jì)算微分方程的近似解與解析解。本文從實(shí)際出發(fā)，介紹了利用Matlab解決求微分方程的問題。

一、Matlab在簡單一階微分方程中的應(yīng)用

Matlab能夠解決簡單的一階線性微分方程的問題。其解決的原理并不復(fù)雜。在確定了自變量與因變量后，只需將一階導(dǎo)變量與常變量分離，對等號兩邊的代數(shù)式同時(shí)積分，即可得出方程的解。

例1.：y=2x^2+x

解：設(shè)計(jì)程序如下：

syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x^2+x，x）

diff（（y，x）-2*x^2-x）

simplify（diff（y，x）-2*x^2-x）

x=0：；

輸出結(jié)果得：y=（x^2*（4*x+3））/6；

所作圖像如下圖：

二、Matlab在含指數(shù)微分方程中的應(yīng)用

在解決含指數(shù)的微分方程中，Matlab同樣有很好的作用。其解決的原理與解決一階線性微分方程有相類似之處。首先定義自變量x，因變量y以及微分函數(shù)dsolve，對于本題，可以通過常數(shù)變易法，先解出的通解，再根據(jù)此原理得出函數(shù)的特殊解P=2x，即可對題目進(jìn)行求解。

例2.

解：設(shè)計(jì)程序如下：

Syms x y

y=dsolve（‘Dy=2*x*exp（-x^2）+x*y，x）

siff（y，x）-2*x*exp（-x^2）+x*y

simplify（diff（y，x）+x*y-2*x*exp（-x^2））

所作圖像如下圖：

三、Matlab在微分方程初值問題中的應(yīng)用

對于常微分方程的初值問題，實(shí)際上就是要求未知函數(shù)y（x）在區(qū)間[a，b]上的一系列離散點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）上函數(shù)值y（xk）的近似值yk（k=1，2，3....，n）的問題。（a=x0

（1）

由此方法求解方程是不合適的，但其滿足二階Runge-Kuta方法的計(jì)算公式。現(xiàn)給出計(jì)算公式：

（2）

其中c1，c2，均為常數(shù)，為簡單起見，常令c1=c2=，=1。將c1，c2以及a的值帶入可根據(jù)該方法解決微分方程的初值問題數(shù)值解求解的問題。

例3.求解微分方程初值問題的數(shù)值解 ，求解范圍為區(qū)間[0， 1]。

解：設(shè)計(jì)程序如下：

fun=inline（x^2+y-1，x，y）；

[x，y]=ode23（fun，[0，1]，2）；

plot（x，y，o-）

y=C9*exp（x）-2*x-1

程序運(yùn)行繪圖如下圖：

拓展：經(jīng)典的四階Runge-Kutta算法在求解微分方程初值問題的數(shù)值解時(shí)同樣有著很強(qiáng)的作用。給出四階Runge-Kutta法的四階算法，為：

（3）

對于經(jīng)典的四階，或者是n階的Runge-Kutta法其中的k1，k2，k3，k4之前的系數(shù)滿足梯形法則公式，給出梯形法則的公式：

（4）

可將其等同理解為被積函數(shù)近似的看做一條直線，而被積的部分近似的看做梯形。若是題目要求得到更加精確的數(shù)值，可以將要積的區(qū)間分成更多個(gè)小的區(qū)間，再在每個(gè)區(qū)間之內(nèi)個(gè)別估計(jì)；那么可以將原公式改進(jìn)為：

（5）

在Runge-Kutta法，微分方程的求解問題，定積分的估算問題等，都可以借助梯形法則來幫助求解問題。

四、總結(jié)

從上面三個(gè)例題中可以發(fā)現(xiàn)，Matlab在解決微分方程的相關(guān)問題中，確實(shí)發(fā)揮著極其重要的作用，其不僅可以解決較為復(fù)雜的微分方程的求解問題、在解決微分方程的初值問題時(shí)找到較為精確的數(shù)值解，還可以使函數(shù)可視化，幫助更好的理解題目與解題思路。因此，Matlab已成為解決復(fù)雜微分方程的問題的重要工具。

參考文獻(xiàn)

[1]閆金亮.Matlab在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].武夷學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，（02）：95-99.

[2]王亞男.MATLAB在常微分方程中簡單應(yīng)用[J].福建電腦，2011，（09）：194+189.

作者簡介：孫瑞鵬（2000.09-），男，漢族，河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)，研究方向：Matlab在微分方程的應(yīng)用。