蔡文平++李曉梅

葉圣陶先生認為：教育就是要養成良好的習慣，教師的任務就是幫助學生養成良好的習慣。隨著《課程標準》實施的逐漸深入，人們已經深刻認識到在小學數學教學中引導學生構建模型、滲透模型思想的重要性。心理學研究表明，幼兒期和兒童期是人類學習習慣養成的關鍵期。引導小學生養成建模習慣有助于《課程標準》的要求落地生根。因此，教師在數學教學過程中要有意識地幫助學生養成建模的習慣。

一、明確建模意義，促進學生自發建模

培養學生的建模習慣，教師首先要引導他們明確建模的意義。用數學方法解決實際問題需要建立相應的數學模型，因為建模是學生有效溝通數學與外部世界的橋梁，建模是學生解決實際問題的有效工具，是數學走向應用的必經之路。

弗賴登塔爾認為：學習數學知識的正確方法就是引導學生對知識“再創造”，即由學生在自主或合作探究中“發現、創造”出所要學習的知識。學生“再創造”數學知識的過程離不開建模。學生在數學建模中可以有效把握知識本質，學會數學地思考問題、分析問題和解決問題。建模時，教師借助有效的教學情境，引導他們學會用數學的眼光觀察生活，并根據已有經驗對生活原型進行適當提煉、簡化和抽象，以便尋找和發現能充分反映實際問題的數量關系。學生不斷思考，不斷分析、推論、綜合、概括，形成假設，并進行驗證，形成獨到見解，建構數學模型；解釋和應用模型時，學生不是簡單地把模型當成固定思維程序進行機械記憶和重復應用的過程，而是靈活合理地選擇、確定問題解決策略的過程；模型拓展過程是學生思維向更高點發展的過程，為學生創造性思維的發展提供了可能。建模過程的思維活動體現了數學活動的本質。因此，數學建模不但能幫助學生密切數學與現實生活的聯系，體會數學的應用價值，而且為他們提供了充滿探索與交流、猜測與驗證的活動平臺，能促進他們思維發展，利于學習積極性和主動性的提升。簡而言之，學會建模，甚至養成建模習慣有利于學生全面提升自己的數學綜合素養。

學生明白了建模習慣養成的重要性，就會自發按照教師的要求去嘗試建模。但小學生由于建模能力有限，注意力集中時間有限，學習興趣和情緒變化起伏大，建模具有一定的隨意性和情境性，建模常顧此失彼，無法完全到位，因而不夠穩定，需要教師進一步引導。

二、掌握建模方法，促進學生自覺建模

猜測驗證是學生建模的主要方法。猜測是學生建模的開始，驗證是確定猜測的正確性，是學生積極參與學習過程，主動建模、獲取知識的主要過程。對小學生而言，常見的建模過程包括逆向思考中建模，分析綜合中建模，歸納演繹中建模和類比推理中建模等。

逆向思考中建模。所謂逆向思考中建模就是逆著正常思維過程去分析、思考和建模的方法。教學“解決問題的策略——轉化”時，有這樣一道題：“有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制（每場比賽淘汰1支球隊）進行。數一數，一共要進行多少場比賽才能產生冠軍？如果有64支球隊參加比賽，產生冠軍要比賽多少場？”一般情況下，教師都是引導學生建構“比賽場數=球隊支數÷2+球隊支數÷2÷2+……+2+1”這樣的模型；如果逆向思考，產生1名冠軍，需要淘汰其他所有隊，從而建構“比賽場數=球隊數-1”的模型。逆向思考對學生建模和培養創新意識都有著十分重要的作用。

分析綜合中建模。所謂分析綜合中建模，就是學生在探究新知中把整體分解為部分或把部分結合為整體的建模方法。用分析綜合法建模可以幫助學生順利發現反映本質聯系的數學規律模型。教學“解決問題的策略——列舉”時，有這樣一道例題：“南山中心小學舉行小學生足球賽。有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？”教師可以根據題目中的信息分別列舉出各場比賽情況并排一排：紅-黃，紅-綠，黃-藍，紅-藍，黃-綠，綠-藍；教師也可以在分析中畫圖列舉（如圖1），從而建立圖論模型。引導學生在分析綜合中建模，有助于學生順利解決較復雜的實際問題。

這些建模方法是學生進行數學探究的方法，也是學生經歷“再創造”數學知識的過程。掌握這些方法，學生建模就比較順利。當然，不同建模過程的特點和使用條件有所區別，教師要引導他們學會根據具體情況靈活掌握使用。隨著學生的認識水平的提高、自我控制能力的增強等因素的變化，學生在掌握一些常見的建模方法后，就能逐漸把建模行為視作內心的一種需求，建模便會逐步形成一種自覺行為。但這時的建模行為還多多少少帶有一點主觀情感的色彩，還具有一定的依賴性。

三、積累建模經驗，促進學生自動建模

小學生的數學學習總是建立在一定經驗基礎上的。建模習慣的養成也不例外。幫助學生積累數學活動經驗是《課程標準》的要求。我們將小學生在建模活動中所形成的數學活動經驗稱為建模活動經驗。幫助學生積累建模活動經驗不但有助于學生熟練建模，而且有助于學生養成建模習慣，甚至能幫助學生把建模習慣達到自動化的程度。

幫助學生積累建模活動經驗，需要教師根據學生的認知發展水平、已有生活經驗和知識經驗的基礎設計有效的數學活動，幫助學生在熟悉且有意義的問題情境中形成并積累一些新的建模經驗。教學“釘子板上的多邊形”時，教師先出示一塊釘子板，并說明釘子板上相鄰兩個釘子之間的距離都是1厘米，然后由師生分別在釘子板上用毛線圍多邊形，比一比：說出它們的面積各是多少？結果總是教師既正確又快速地給出答案。小學生的好勝心強，比賽失利充分激發了他們的探究欲望。學生根據直覺猜測圖形的面積與多邊形邊上和內部的釘子數可能有關。于是，學生在猜測驗證中建構了圖形內釘子數為1的面積計算模型——a=1時，S=n÷2（a表示多邊形內的釘子數，S表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數），并且初步形成建模經驗——猜測驗證有助于建模，但可能有一定的前提條件。在此基礎上，學生在類比推理中繼續建構出a=2時S=n÷2+1，a=3時S=n÷2+2，a=4時S=n÷2+3和a=5時S=n÷2+4等數學模型，最終建構了統一的數學模型S=n÷2+a-1，并有效豐富和提升了建模活動經驗——構建的模型形式似乎不同，但本質一致。學生在建模活動中不斷積累數學活動經驗，有助于學生進一步掌握建模方法，為學生順利養成建模習慣奠定了堅實的基礎，學生的建模達到了一種不假思索的程度（即自動建模）階段。這是學生的一種行為定勢，建模已經成為他們習慣性的條件反射，并且達到了自動化境界，并慢慢地內化成他們自己個性品質結構中的有機組成部分。

小學生的數學建模習慣養成是教師有意引導他們不斷“重復”建模的結果。如果學生真的能明確建模意義、掌握建模方法、積累建模經驗，他們的建模習慣就會從自發階段上升到自覺階段，最終到達自動階段。正如俄羅斯教育家烏申斯基所說的：習慣是教育力量的基礎，是教育活動的杠桿。如果學生真正養成了建模習慣，教師的課堂教學就會事半功倍。當然，行為習慣的形成是一個漫長的階段，良好的建模習慣離不開教師的耐心糾正和及時鞏固。

（作者單位：江蘇省泰興市襟江小學 江蘇省泰興市教師發展中心 本專輯責任編輯：王彬）