只見樹木不見森林

余壽華

【中圖分類號(hào)】G633.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）27-0133-02

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，特別是當(dāng)分率與具體數(shù)量同為分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生更感覺無所適從。為什么在我們看來非常明顯的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生卻困惑難解？我認(rèn)為這里既有教學(xué)的原因——分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)不完整，也有教材的問題——編排缺乏系統(tǒng)性。

一、緣起

分?jǐn)?shù)除法單元檢測(cè)中有這樣一題“李明分鐘跑步千米。他平均每分鐘跑多少千米？他跑1千米要多少分鐘？”竟然有一半的同學(xué)出現(xiàn)錯(cuò)誤。類似這樣的問題還有很多，學(xué)生總是鬧不清楚該用誰除以誰。這引起了我的思考，是學(xué)生思維發(fā)展沒有達(dá)到解決此類問題所需的水平，還是教師教學(xué)失誤？我做了進(jìn)一步的研究，以期找到原因，使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)除法。

二、思考

是什么造成了學(xué)生的困難？我覺得有以下幾個(gè)原因：

1.認(rèn)知水平的影響

（1）直觀的除法與抽象的分?jǐn)?shù)

無論整數(shù)除法還是分?jǐn)?shù)除法，共同的本質(zhì)是除法運(yùn)算。為什么整數(shù)除法學(xué)生的思路是清楚的，而到了分?jǐn)?shù)除法中就糊涂了呢？

當(dāng)學(xué)生面對(duì)“一臺(tái)織布機(jī)小時(shí)可以織布米”這樣的情境時(shí)，無論是“米÷小時(shí)”還是“小時(shí)÷米”都無法用平均分來解釋，故無法順利地將新知納入已有的經(jīng)驗(yàn)中。

是什么造成分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的割裂呢？再看學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的形成過程。三年級(jí)第一次接觸分?jǐn)?shù)時(shí)，是這樣認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的“把一塊月餅平均分成兩份，每份是這塊月餅的一半，也就是它的二分之一，寫作。”五年級(jí)第二次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，是這樣認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的“一個(gè)物體，一些物體等都可以看作一個(gè)整體，把這個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來表示。”通過比較不難發(fā)現(xiàn)，這兩次認(rèn)識(shí)的路徑是相同的，都是用來表示平均分的結(jié)果，區(qū)別只是否用語言進(jìn)行概括。

這樣學(xué)習(xí)的結(jié)果是學(xué)生看見“米布”立刻想到“把1米布平均分成3份，表示這樣的2份”。看到小時(shí)立刻想到“把1小時(shí)平均分成5份取其中的4份”。按照這個(gè)思維模式，與“小時(shí)÷米”相對(duì)應(yīng)的表象是什么？“把1小時(shí)平均分成5份取其中的4份÷把1米布平均分成3份取其中的2份”，此時(shí)中間的除法無論是說成平均分還是包含都說不通，而且布怎么可以平均分時(shí)間呢？這太不可思議了！學(xué)生沒有意識(shí)到，分?jǐn)?shù)除法算式的意義不是分?jǐn)?shù)意義的簡(jiǎn)單疊加，它是可以脫離分?jǐn)?shù)的意義獨(dú)立存在的。

之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解仍停留在直觀的平均分水平，沒有形成抽象的分?jǐn)?shù)概念。對(duì)上題中小時(shí)和米，根本無需分析它所代表的意義，只有暫時(shí)放棄對(duì)數(shù)的意義的關(guān)注，轉(zhuǎn)而關(guān)注數(shù)量關(guān)系，才能理解這類問題的本質(zhì)——總數(shù)、份數(shù)和每份數(shù)，才能順利解決問題。

（2）熟悉的生活情境和陌生的數(shù)量關(guān)系

新課程提倡在具體的問題情境中解決問題，不提倡數(shù)量關(guān)系的概括與歸類，認(rèn)為概括數(shù)量關(guān)系后易造成學(xué)生按照某個(gè)固定模式分析數(shù)量關(guān)系，并利用數(shù)量關(guān)系“套路化”地解決問題，從而縮小學(xué)生思維的空間。這樣改革的結(jié)果是學(xué)生對(duì)少量熟悉的情境用生活經(jīng)驗(yàn)無需思考輕松解決，對(duì)大量陌生的數(shù)量關(guān)系難以歸類無從下手。

注重問題情境與概括數(shù)量關(guān)系并不矛盾，從某種意義上說，概括是抽象必然的結(jié)果。要讓學(xué)生熟練地解決一類問題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系的研究與概括。以上題為例“一共織布多少米”“每小時(shí)織布多少米”“織了多少小時(shí)”組成了一個(gè)有關(guān)工作總量、工作效率、工作時(shí)間的數(shù)量關(guān)系，它們又可以進(jìn)一步抽象為總數(shù)、份數(shù)和每份數(shù)的數(shù)量關(guān)系。這樣陌生的織布問題就與熟悉的平均分結(jié)合在一起了。學(xué)生會(huì)自覺將“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”與“每小時(shí)織布米數(shù)×小時(shí)=織布總數(shù)米”建立聯(lián)系，甚至根據(jù)乘除法互逆關(guān)系得出“每小時(shí)織布米數(shù)=織布總數(shù)米÷小時(shí)”。

2.教材編排的偏差

學(xué)生認(rèn)知水平除了受學(xué)生思維發(fā)展水平影響，教材編排有沒有可以改進(jìn)之處呢？我查閱了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)1-12冊(cè)教材，嘗試從教材編排中找原因。

二下是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)除法，第二單元《表內(nèi)除法一》教師用書明確指出：本節(jié)教材主要是讓學(xué)生在具體情境中通過實(shí)踐操作明確平均分的含義，在頭腦中形成平均分的表象，進(jìn)而讓學(xué)生在具體情境中體會(huì)除法運(yùn)算的意義。（《教師用書》P32）

第四單元《表內(nèi)除法二》重點(diǎn)有二：一是使學(xué)生熟練應(yīng)用乘法口訣求商；二是使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的數(shù)量關(guān)系的過程。教學(xué)難點(diǎn)是應(yīng)用分析推理，將一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的除法含義。也就是說二年級(jí)第一次接觸除法時(shí)，學(xué)生了解的除法的意義有二：一是平均分；二是包含。（二下《教師用書》P82）

綜上所述，從教材的編排看，教材對(duì)學(xué)生除法概念的形成缺乏系完整性和嚴(yán)密性，除法的意義的形成局限于平均分和包含兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。既缺少常用數(shù)量關(guān)系的概括，更缺少除法是乘法逆運(yùn)算的思考。正是學(xué)生對(duì)除法意義理解的缺陷，造成學(xué)生解決分?jǐn)?shù)除法問題的困難。

三、解惑

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象，一個(gè)蘋果和一群小羊都可以用數(shù)字“1”表示，為什么不能用總數(shù)和每份數(shù)來概括路程和速度呢？總數(shù)、每份數(shù)的抽象程度并不比單位“1”更高，有眾多的生活情境做支撐，完全可以把行程問題、工作量問題、價(jià)格問題、工程問題等都納入到這個(gè)數(shù)學(xué)模型中，通過建立模型簡(jiǎn)化問題。

我們以上題為例：李明分鐘跑了千米，他平均每分鐘跑多少千米？他跑1千米要多少分鐘？

（1）平均每分鐘跑多少千米？

速度本質(zhì)上是單位時(shí)間的路程。把路程作為總數(shù)，時(shí)間作為份數(shù)，用總數(shù)除以份數(shù)，得到的就是每份數(shù)——每分鐘跑多少千米。雖然這個(gè)份數(shù)與學(xué)生熟悉的3份、5份有所不同，但是沒關(guān)系，此時(shí)根本不需要考慮這個(gè)問題，要關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系，而不是每個(gè)數(shù)的意義。

（2）跑1千米要多少分鐘？

如果每份數(shù)是時(shí)間，總數(shù)當(dāng)然也是時(shí)間，路程反而變成了份數(shù)，數(shù)量關(guān)系仍然是總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，總時(shí)間÷千米數(shù)=每千米需要的時(shí)間，分。

這樣無論是求速度還是每千米需要的時(shí)間，都納入“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”關(guān)系之中，不同的問題用同樣的數(shù)量關(guān)系解答，降低了學(xué)生記憶的負(fù)擔(dān)。

四、結(jié)束語

學(xué)生的錯(cuò)誤本質(zhì)上是學(xué)生的抽象水平不足，面對(duì)紛繁的問題無法從具體的情境里跳出來，只見樹木不見森林，造成分析數(shù)量關(guān)系的困難。新課程淡化了數(shù)量關(guān)系的概括，客觀上影響了學(xué)生對(duì)除法意義的再認(rèn)識(shí)，從而造成學(xué)生知識(shí)的割裂，不能自覺同化整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法，從而形成學(xué)習(xí)困難。

把這類問題的基本數(shù)量關(guān)系概括為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，可以避免分?jǐn)?shù)意義對(duì)除法意義的干擾。“種瓜得瓜，種豆得豆”的比喻形象地說明了總數(shù)與每份數(shù)之間的關(guān)系，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解乘除法的互逆關(guān)系。既能幫助學(xué)生解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，又有利于學(xué)生抽象水平的提高。