高中平面向量的特點及解決平面向量的綜合問題分析

程德明

【摘要】長時間以來國內外對數學教學的研究從未間斷，將向量引入到中學數學教學中是一個非常重要的體現。向量及向量的算法在以前的高中數學課本中主要是在復數中教授，正余弦定律則是通過平面三角幾何教授，平面兩點之間的距離、平移等則是在綜合幾何中教授，而新教材則是將這些內容全部都融合在一起，使用向量的觀點來解決問題，這樣一來完全改變了以前教材的編制體系。基于此，本文主要對高中平面向量的特點及解決平面向量的綜合問題進行了分析。

【關鍵詞】高中數學 平面向量 問題分析

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）29-0177-01

使用向量的定義來處理數學問題，因為向量具有代數形式和幾何形式的兩種身份，這便是使得它成為了多項數學內容的連接中心。所有在高中數學教材中引進向量已經勢在必行，而且向量的應用在很多方面都引起了數學專家的思考。改革后的數學課程以簡潔為主，簡化教學內容，提升數學教學效率，加強數學各部分之間的聯系和知識的綜合應用，將幾何、代數等教學內容進行綜合編制。將向量引入到高中數學教材中，增強了各部分內容之間的聯系，使得高中的數學知識和大學的數學知識銜接更為緊密了。

1 平面向量的學習內容和特點

1.1 平面向量的定義

在二維平面內能同時體現方向和大小的量為平面向量，在物理學科中將這種量稱之為矢量，將只有大小而沒有方面的物理量稱之為標量，也就是數量。平面向量的表示方式一般是在英文字母a，b，c上面添加一個箭頭，這種表示方式不但可以表示向量有向線段的起點，還能表示有向線段的終點。由此可以引出一些新的概念，例如平行向量、有向線段、單位向量等名詞。對于平面向量的學習應該從物理學的立場出發，通過物理學中的學習經驗來形成一個物理問題情景。

1.2 平面向量的基本定律

規定 是同一平面內兩條不共線的向量，那么這個平面內任意向量則為 ，而且只有一對有效實數 ，那么任意向量的計算公式則為 。我們將 稱之為這個平面中所有向量的基底。

1.3 平面向量的特點

基礎知識是向量的基本特點，同時它也是一種方法和工具相結合的數學知識。向量的運算體系非常具有優勢，它所提供的坐標法、向量法等都成為了研究高中數學的主要手段。向量的運算體系解決了幾何中長度、角度的計算，線段平行、垂直的證明，正余弦定律的導出。這些例子都充分體現了數學中數形結合的思想。

向量中“數”和“形”同時都有，是數學數形結合的媒介。在介紹向量概念的時候，教材中使用了幾何圖形，而在解答幾何問題時，又使用了向量知識，這些都體現了數形結合的理論思想。

幾何代數化、形式化除了可以使用函數，還可以通過向量的方式。向量是現在數學中重要的數學概念，同時它也是聯系代數、三角、幾何的工具。新高中數學教材引入向量，充分體現了新課程理念。它的引入將幾何與代數的關系變得更加緊密了，維度之間的過渡顯得十分順暢。向量是一種數學知識，更是一種解決數學問題的方法。

向量的概念是從生活實踐中引出來的，而且它也是解決工程技術和物理學等問題的主要工具。教材中十分看中理論與實際的結合，尤其是應用，比如物理學中通過位移、加速度、速度等概念引入了向量的概念，又從物體做功引入了向量數量積的概念。對于向量應用的例子生活中隨處可以，例如速度的分解與合成、工程技術中的曲柄連桿結構問題等。課本每章都安排了實習作業，最引人注意的是，教材在向量這章結束的時候還安排了一個研究性作業——向量在物理學中應用，然后利用數學模型來解釋生活中出現的與向量有關的物理問題。

2 解答平面向量的綜合問題

在數學學習過程中，平面向量一般會和其他內容聯系起來，這種問題在考試中經常會遇到。若是學生對平面向量概念的理解不透徹，或是沒有搞明白與其聯系的內容，在做題過程中很容易陷入困境。數學中平面向量一般與以下幾個方面的內容綜合使用。

2.1 平面向量與平面解析幾何的綜合

平面向量自身就具有數形結合的特點，所以將平面向量和解析幾何聯系起來也非常常見，學生也經常在考試過程中遇到此類綜合性的題目。學生在遇到這類問題時，要使用數形結合的思想解題，這樣的話在綜合問題上才不會陷入困境，比如已知在平面直角坐標系上有兩個點，計算這兩個點之間的距離。解這個問題的關鍵在于求解一個平面內兩個點對應平面向量的長度。又或者對一條線段進行分析，求解線段中按照比例分段點的坐標。根據平面向量的性質，求出線段與分段點之間的坐標，對這兩個坐標進行計算即可。需要注意的是，在計算平面向量乘積的時候，必須要考慮到向量之間的夾角。在平面幾何計算中，一般都是使用這個方法，解答相對應的問題。

2.2 平面向量和三角函數的綜合

以直角三角形為基礎形成的新函數是三角函數，其中主要包含余弦函數、正切函數、正弦函數等，三角函數一般用來計算平面向量的數量積問題。例如兩個平面向量的乘積，是由兩個向量的大小和它們之間角度的余弦值相乘而求得。在高中數學學習中，學生總是會遇到這個利用平面向量解決三角函數的題目。再例如使用平面向量的運算方式將平面向量問題轉變為三角函數問題，以此來分析三角函數的特點和性質。有些數學題目，學校需要使用三角函數的概念來解決三角形問題，這時也可以利用平面向量的概念，對正余弦定律巧妙使用，對邊角進行互換，解決與三角形面積、角度、長度的問題。解決平面向量和三角函數綜合問題的關鍵是學生必須明確向量數量積和三角函數知識之間的聯系。

2.3 平面向量和函數的綜合

在函數學習中，學生經常會遇到函數圖象平移題目，例如指數函數中線段的平移。學習平面向量其實就是在學習點平移的向量，所以在遇到這個函數圖象平移問題時，可以將其看作是平面向量中的點進行平移。再例如已知X與Y之間的關系，求出函數中X或Y的最大值和最小值。解答這類問題可以將Z看作平面向量，然后對其計算，利用函數之間的聯系簡化運算式，最后分析題目中X和Y在什么情況下函數值最小或是最大，進而的出計算結果。學生在遇到平面向量和函數的綜合性題目時，學生一定要學會在平面向量特點的基礎上轉化成為函數式。

3 結束語

總而言之，平面向量知識在學習過程中經常會與其他數學內容聯系在一起，這是由于平面向量自身的特點。平面向量具有數形結合的特點，可以解決與解析幾何相關的數學題目。

參考文獻：

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