深化數學建模課程教學 推進數學的實踐與應用

秦新強+郭文艷+徐小平+胡鋼+王敏

摘要：闡述了數學建模活動在現實世界中的重要性，回顧了我國及我校數學建模活動開展的歷程及現狀，提出了該項活動繼續進行需要解決的問題，并給出了問題的解決方案。

關鍵詞：數學建模；課程建設；教學方法；實踐應用

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）15-0185-03

一、數學建模在現實世界中的重要性

數學作為一門研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和人們生活的實際需要密切相關的。作為用數學方法解決實際問題的第一步，數學建模自然有著與數學同樣悠久的歷史。兩千多年以前創立的歐幾里德幾何，17世紀發現的牛頓萬有引力定律，都是科學發展史上數學建模的成功范例。進入20世紀以來，隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透以及電子計算機的出現與飛速發展，數學建模越來越受到人們的重視，可以從以下幾方面來看數學建模在現實世界中的重要意義。

1.在一般工程技術領域，數學建模大有用武之地。在以聲、光、熱、力、電這些物理學科為基礎的，諸如機械、電機、土木、水利等工程技術領域中，數學建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術、新工藝的不斷涌現，提出了許多需要用數學方法解決的新問題；高速、大型計算機的飛速發展使得過去即便有了數學模型也無法求解的課題（如大型水壩的應力計算、中長期天氣預報等）迎刃而解；建立在數學模型和計算機模擬基礎上的CAD技術，以其快速、經濟、方便等優勢，大量地替代了傳統工程設計中的現場實驗、物理模擬等手段。

2.在高新技術領域，數學建模幾乎是必不可少的工具。無論是發展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術本身，還是將高新技術用于傳統工業去創造新工藝、開發新產品，計算機技術支持下的建模和模擬都是經常使用的有效手段。數學建模、數值計算和計算機圖形學等相結合形成的計算機軟件，已經被固化于產品中，在許多高新技術領域起著核心作用，被認為是高新技術的特征之一。在這個意義上，數學不再僅僅作為一門科學，它是許多技術的基礎，而且直接走向了技術的前臺。國際上一位學者提出了“高技術本質上是一種數學技術”的觀點。

3.數學迅速進入一些新領域，為數學建模開拓了許多新的“處女地”。隨著數學向諸如經濟、人口、生態、地質等所謂非物理領域的滲透，一些交叉學科如計量經濟學、人口控制論、數學生態學、數學地質學等應運而生。一般地說，不存在作為支配關系的物理定律，當用數學方法研究這些領域中的定量關系時，數學建模就成為首要的、關鍵的步驟和這些學科發展與應用的基礎。不同方法、不同深淺程度模型的余地相當大，為數學建模提供了廣闊的新天地。馬克思說過，一門科學只有成功地運用數學時，才算達到了完善的地步。

二、數學建模活動與數學建模課程建設現狀

1.中國數學建模的萌芽。1977年我國高考制度恢復，大學數學教學采用的還是原蘇聯的教學模式，理論性體系嚴謹。眾多數學人在大學數學教學中正處于積極探索與總結之中，先后產生了同濟大學樊應川的《高等數學》、吉林大學的《數學分析》、華東師范大學的《數學分析》、復旦大學的《數學分析》等新時期的大學數學教材。這些教材無不顯現著蘇版教材的影子，當時的學生都以六冊吉米多維奇的《數學分析習題集》為標準來檢驗自己的數學功底，包括工科學生也加入到了做這六冊習題集中習題的大軍中，這些數學資料為培養一代高水平、高素質的數學人才立下了汗馬功勞。

在那個時代，大學數學教學中體現數學的實踐應用還沒有引起足夠的關注，在高考制度恢復后的第十年，1987年由中國科學數學研究所開始籌辦了中國大學生數學夏令營活動，活動主要還是以理論數學為主的內容來進行的，期間要進行兩次較為高深的數學競賽，與數學家交流、聽學術報告和講座等，直到1991年共舉辦了5屆這樣的夏令營活動。而在同一時期，在美國的高等學校里進行的卻是“美國大學生數學建模競賽（MCM—Mathematical Contest in Modeling）”，該競賽是由美國數學及應用協會（COMAP）主辦、美國工業與應用數學學會（SIAM）、美國運籌學會（ORSA）和幾所大學支持創辦的，1985年起開始每年舉辦一次，為通訊比賽形式，并歡迎世界其他國家和地區的學生參賽。競賽的目的在于鼓勵和訓練學生用數學方法解決實際問題，競賽題目均從有實際意義的課題中提煉而成，沒有預先設定的答案。1989年，北京有三所大學組隊參加了美國的MCM競賽，從中得到了很大的感悟，之后的連續參賽在中國的數學界產生了很大的影響，也給了國人很大的啟迪。于是1992年，中國工業與應用數學學會（CSIMA）委托該學會的數學模型專業委員會和上海市工業與應用數學學會，試辦了1992年我國大學生數學模型聯賽，74所院校的314個隊，近千名學生在北京、上海、西安、武漢等9個賽區參加了比賽。經過兩年的試辦，取得了很大的成功，也使大家認識到這是在校大學生進行數學應用和實踐的一個最佳方式，并決定從1994年起，由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會共同舉辦我國自己的“全國大學生數學建模競賽”，被國家教委規定為全國大學生四大競賽之一，每年舉行一次。為中國高校在大學中培養學生的數學實踐應用能力開啟了一個新的窗口。

數學建模競賽這項活動非常具有創造性和挑戰性，通過數學建模的鍛煉，最重要的是學會一種責任感和敬業精神、一種創造和團隊合作精神，可以使學生在計算機編程、數學軟件使用、論文寫作、口語表達、組織調度能力等各個方面達到最大限度的展現和鍛煉，而這些內容正是國內高等教育中的盲點，通過這樣的活動可以得到極大的加強。

參加數學建模競賽需要很強的綜合知識能力，在校大學生在常規的學習之余，還需要學習和補充其他知識。第一方面要求有很強的數學知識及應用能力。比賽的試題涉及的數學知識面十分寬廣，涵蓋了概率與數理統計、統籌與線性規劃、微分方程等應用型很強的數學分支，還有與計算機知識相交叉的計算機模擬。第二方面要求熟練的計算機的運用能力。參賽學生需要熟練應用文字處理軟件Word，電子表格軟件Excel，數值計算軟件“Matlab、Mathematical”等的使用，具備計算機語言能力會更有優勢。第三方面要求具有很好的論文寫作能力。競賽上交的是一篇論文，文章的書寫有比較嚴格的格式，需要很強的文字功底和科技論文的寫作能力。

2.數學建模課程的研究基礎、實踐成果與存在問題。數學建模競賽這項活動非常具有創造性和挑戰性，通過數學建模的鍛煉，最重要的是學會一種責任感和敬業精神、一種創造和團隊合作精神，可以使學生在計算機編程、數學軟件使用、論文寫作、口語表達、組織調度能力等方面達到最大限度的展現和鍛煉，而這些內容正是國內高等教育中的盲點，通過這樣的活動可以得到極大的加強。但是，取得成績的同時，在總結分析、研究課程建設現狀的基礎上，普遍來說還存在著一定的問題需要進一步解決。

（1）教學內容與教學體系需要深度改革。在培養在校大學生數學應用與實踐能力的過程中，數學建模類課程的開設對學生的啟蒙具有非常重要的作用。通過調查發現，在此類課程在教學方面、教學內容的知識體系與結構上還存在不足，以現在全國所用的《數學建模》教材內容設置來看，均不太適合學生接受和掌握數學建模的思想和方法，與真正做到建模、計算、應用還有一定的距離，脫離了學生接受知識和動手應用的漸進過程。因此，教學內容與體系結構的調整是應該重點關注的問題，以便有利于學生在數學應用方面有更多數學知識的獲取與數學的具體應用。在理論性強的數學基礎課上，也需要補充數學應用的實例，及時將所講授的數學內容與實際問題相聯系，提高學生對數學應用的認識。

（2）教學方法和手段的改革需要深入進行。傳統的數學課程教學就是定義的介紹、定理的推導，練習題也基本上是理論的推理，缺少數學應用的講解。因此，要讓學生懂得學數學不僅是要訓練嚴謹的邏輯思維，更重要的是為了用數學去解決實際問題，就需要在教學方法和教學手段上做出改變，進行探索。以《數學建模》、《數學實驗》應用性強的課程為導引，通過數學的實踐與應用提高學生的數學學習興趣，總結經驗、加以推廣，還缺乏系統設計與規劃，還沒有深入到每位數學教師思想里，也沒有使得教工程數學的教師對數學的實踐與應用具有充分的認識并具備數學的應用能力。

三、數學建模課程與數學建模活動深層次問題的解決

數學的學與用應該是數學教學工作者始終要重視的問題，在數學一級學科的五個二級學科中，除了基礎數學，其余四個包括應用數學、計算數學、概率統計、運籌與控制都是與應用緊密相關的，因此作為工科院校的數學教師，在教授數學基礎理論內容的同時，增強數學的實踐與應用，也是應該加倍重視的教學任務。而對于理工科專業的學生來說，數學基礎的穩固、扎實固然重要，但有了一定的數學基礎后，用好數學才是最關鍵的一步。在大學開設《數學實驗》、《數學建模》課程可使學生在學完《高等數學》、《線性代數》、《概率統計》后能夠進一步學習數學的擴展知識以及數學的初步應用，并在專業學習中能更好的將數學與專業知識進行融合。

1.構建更為科學的教學內容。當前社會對本科生的需求更體現在實踐動手能力方面，因此對于工科專業的學生，在教授其數學基本理論的同時，設定適合學生進行數學應用的后續數學的相關知識體系和知識結構，選定合適的教學內容，及時凸顯數學的應用與實踐，有針對性的構建科學的課程內容體系。根據十多年的教學經驗，我們感覺到目前市場上銷售的各類數學建模的相關教材和書籍，并不完全適合初次接觸數學建模的學生學習，這些教材往往直接就從實際例子講起，盡管學生已經具有了一定的數學基礎，但是要真正完成一個實際問題解決的完整過程，還需要補充更多的數學應用知識和數值計算技能，因此在培養學生的數學應用方面，我們首先要對教學內容進行改革完善，再通過開設不同類型的數學建模課程，講授這些知識和技能。如何在具有一定微積分、代數學、統計學知識的基礎上，再擴充一些其他數學分支知識，包括數值計算方法、運籌優化等。

2.探索更加有效的教學方法。探討合適的數學實踐與應用的教學方法，通過課堂教學與動手實踐教會學生如何將實際問題轉化為數學模型，學會解決數學模型的各種方法，為專業學習打下數學的學與用的基礎。大學數學的實踐與應用是一個綜合性的研究課題，要在大學的數學教學和應用中解決好這個問題，需要認真規劃，逐步實施，不斷推進，探索出數學實踐應用教學的新方法和新手段，研究思路就是通過開設《數學建模》課程，探索教學內容、教學方法，并推廣到其他基礎性的數學課程教學中，使得理工科學生更早的接觸并學會數學的應用，為專業的學習和實際問題的解決打下良好的基礎。

（1）要不斷提高教師對數學教學的認知問題。要在進行數學理論教學的同時，提高自身對數學學與用的認識，要意識到在數學教學課堂滲透數學的產生背景與應用背景。“以問題驅動數學”教學會有更大的效果。

（2）要逐步解決學生對數學學習的認知問題。作為工科大學生，學習數學是為了用，是為了更好的解決專業問題，因此要能及時教育學生認清學習數學的重要性，從而轉化為動力，學好數學，用好數學。

（3）解決好教學中數學實踐與應用問題，就是如何培養學生從數學的認知到數學實踐，所以在常規數學課程教學之外，開設專門課程培養學生的數學應用是一個重要途徑，比如《數學實驗》、《數學建模》等。另一個途徑就是在諸如《高等數學》、《線性代數》、《概率統計》等基礎課堂上，多引入數學應用的實例，多灌輸數學應用的思想，要解決在備課中準備數學應用素材案例問題。改進傳統的教學方法和手段，既能保證數學基礎理論體系的學習，又能適時的將數學應用貫徹進去，需要一種長期的堅持和積累。

3.不斷推進數學的實踐與應用。探索在數學基礎課程教學中融入數學應用與實踐的教學內容，探索相應的教學方法，使學生在學習數學的同時，盡早了解數學的產生和應用背景，掌握初步的數學應用。目前除了在《線性代數》課堂上進行過嘗試外，還需要在《高等數學》和《概率統計》課程中進行試驗推廣，推進數學的同時進行應用。通過以點帶面的方式逐步進行，先在《數學建模》、《數學實驗》類課程上設計好數學應用的補充知識，規劃授課內容，探索數學應用更合適的教學方法，再將教學內容、教學方法、教學手段加以推廣。

（1）先從設置數學應用的課程做起，在有了一定數學基礎的前提下，通過開設《數學實驗》、《數學建模》課程，進一步補充數學應用的相關知識，比如數值計算方法、數值計算軟件、應用性強的數學分支課程，又如《運籌優化》、《應用統計學》等。所以，要進一步規劃好課程學習內容，調整好課程內容體系，針對學生的學習規律設計好數學應用的實際問題。

（2）針對不同講授內容，設計、改進相應的教學方法，包括數值計算方法教學、數值軟件教學、應用類數學知識補充教學、實際問題建模求解內容的教學等。

（3）將在《數學實驗》、《數學建模》課程教學中總結的方法、經驗推廣到其他數學課程教學中，采取的方法就是首先搜集相應的數學課程的應用素材，在教學中將數學概念和數學結論與相應的實際問題相結合與滲透，擴大數學應用實踐的受眾面。

總之，數學的實踐教學，需要在課程內容的設計上具有針對性，具有循序漸進的效果，然后在教學方法上也要精心規劃，使學生按照學習的規律逐步掌握數學建模的方法、數學建模所需要的知識和計算技能，只要長期堅持、持之以恒，對于理工科學生逐步掌握好數學的學與用，掌握解決問題的技能會起到很大的推動作用。

參考文獻：

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[2]昝鋒，王敏，秦新強.提高工科學生理科知識實踐與應用能力的方法與途徑[J].教育教學論壇，2013，（15）：52-53.

[3]秦新強，郭文艷，徐小平，胡鋼.數學建模[M].北京：科學出版社，2015.