關(guān)于函數(shù)Cauchy收斂準(zhǔn)則的一些說(shuō)明

摘要：本文研究了在數(shù)學(xué)分析中遇到的柯西收斂準(zhǔn)則。它是判定極限存在性的理論，我們從概念上來(lái)分析理論的本質(zhì)，并通過(guò)兩個(gè)例子做了更透徹的說(shuō)明。

關(guān)鍵詞：Cauchy準(zhǔn)則；極限存在性；函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）15-0209-02

Cauchy收斂準(zhǔn)則是整個(gè)分析學(xué)的基礎(chǔ)，在華東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》中，放到實(shí)數(shù)完備性的基本定理中，它不僅可以用來(lái)判定數(shù)列和函數(shù)的極限存在性，而且還為后面的級(jí)數(shù)收斂提供了判別方法。由于這個(gè)理論的抽象性，不容易理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，總覺(jué)得無(wú)從著手，接下來(lái)我們將從概念的角度來(lái)闡述。

一、Cauchy收斂準(zhǔn)則的概念

在數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)柯西收斂準(zhǔn)則定義如下。

定理1.1：數(shù)列a收斂的充分必要條件是對(duì)任意的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n，m>N時(shí)有|a-a|<ε。

定理1.2：設(shè)函數(shù)f（x）在鄰域U°（x，δ′）有定義，f（x）存在的充分必要條件是對(duì)任意的正數(shù)ε總存在正整數(shù)δ<δ′，使得當(dāng)

上述定理是研究函數(shù)或數(shù)列極限的存在性的基本定理，它的本質(zhì)在于我們可以根據(jù)函數(shù)本身的特性來(lái)說(shuō)明極限的存在性問(wèn)題，它不同于極限的ε-N語(yǔ)言或ε-δ語(yǔ)言，需要確定極限的具體值，如要說(shuō)明當(dāng)x→x，sinx的收斂性，我們可以根據(jù)sinx本身的特性進(jìn)行說(shuō)明。而sinx本身具有什么特性呢？它具備對(duì)任意的

因此，可以根據(jù)這一特性來(lái)說(shuō)明當(dāng)x→x時(shí)，sinx的收斂性。

Cauchy收斂準(zhǔn)則的理論在理論上近乎完美，然而在應(yīng)用上局限性太大，因?yàn)橐业脚c柯西準(zhǔn)則有關(guān)的函數(shù)本身特性非常困難，因而不太實(shí)用。

二、Cauchy收斂準(zhǔn)則的應(yīng)用

我們通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明Cauchy收斂準(zhǔn)則的理論，這為從概念上對(duì)柯西準(zhǔn)則的理解具有一定的實(shí)際價(jià)值。

例1：考察sin（x）的存在性。

解：基于前面的對(duì)函數(shù)sinx本身的特性，根據(jù)（1），我們對(duì)任意的正數(shù)ε，取δ=ε，使得當(dāng)

由于Cauchy準(zhǔn)則在應(yīng)用上有局限性，常常用來(lái)尋找使函數(shù)或數(shù)列極限不存在的條件，由定理1.2可知。

定理2.1：f（x）不存在的充分必要條件是對(duì)存在正數(shù)ε>0，對(duì)任意的正數(shù)δ，使得存在

接下來(lái)，我們根據(jù)柯西準(zhǔn)則的反命題來(lái)說(shuō)明極限的不存在性。

例2：考察sin不存在。

分析：要利用定理2.1來(lái)說(shuō)明上述極限的不存在性，我們的關(guān)鍵是確定 ，而這三個(gè)量之間又是相互制約的，因而存在許多不確定因素。根據(jù)命題2.1，判定極限不存在性的關(guān)鍵是對(duì)事先確定的ε，找到使得 。當(dāng)然，這也對(duì)大家的數(shù)學(xué)直觀性進(jìn)行了考察。一般來(lái)講，此處的ε，我們可以事先給定，并且使得其值要充分的小。我們可以取 來(lái)找到合適的 顯然這樣的數(shù)有很多，例如我們可以取 即可。這樣的 ，是否是我們所要尋找的呢？根據(jù)定理2.1顯然不滿足條件，因?yàn)槲覀円沟?因此要選擇的 與δ有關(guān)，故而，注意到sinx的周期性，滿足條件的 有無(wú)限多個(gè)，而我們只需要找到兩個(gè)就可以了。為此，我們可以假設(shè) 具有如下的形式： 這樣我們可以通過(guò)控制n的值來(lái)使得 落在 此時(shí)這樣的n滿足n>既可。

解：取 ， 命題得證。

三、結(jié)論

我們從函數(shù)本身的本質(zhì)特性來(lái)說(shuō)明了柯西準(zhǔn)則理論的本質(zhì)，并通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)闡述了柯西準(zhǔn)則的概念，使得學(xué)生更容易理解柯西準(zhǔn)則的本質(zhì)。當(dāng)然在應(yīng)用上，我們還可以結(jié)合Heine定理等理論進(jìn)行說(shuō)明，這在形式上更簡(jiǎn)單，我們?cè)谶@里不再作進(jìn)一步地討論。

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