工程數學與數學建模思想相融合的實例探索

劉君

【摘 要】大學數學教學改革是現代信息發展的形勢所趨，培養應用型人才需從教學內容與方法著手。將數學建模思想和方法融入到工程數學的教學中，可有效提高學生的實際應用能力。

【關鍵詞】工程數學；數學建模；創新教學

0 引言

工程數學是大學工科類專業的基礎課程，這門課程不僅為學生解決實際問題提供了方法，也是進一步學習專業課程必不可少的基礎課程。廣州城建職業學院一直本著為城市建設培養高素質技術技能人才的辦學定位，堅持應用型人才的培養模式。近年以來各大高校都在開展高等數學與數學建模相融合的教學模式，這已成為應用型人才培養下，數學教學改革的一種有效途徑。

1 學生數學知識能力的初步調查

為更清楚地了解學生的應用能力，筆者以數學應用能力測試的方式，對廣州城建職業學院建工造價、會計經管等專業部分學生進行了測試，結果顯示學生的數學建模正確率在55%～66%之間，平均得分58.98。

從測試結果來看，學生對數學知識的應用能力還有待提高，因各專業對數學要求不同，導致學生對數學知識的掌握程度不同。這充分說明高職的數學教學需根據不同專業、不同基礎制定相應的教學方式。而通過在《工程數學》課程中融入數學建模思想，可有效提高學生對數學知識的應用能力，為后續專業課程的學習打下堅實的數學基礎。

2 將數學建模思想融入工程數學課程教學的基本思路

2.1 在工程數學的基本概念、定義的教學時融入建模思想

數學來源于生活，因此在教學中應重視從現實問題到數學概念的抽象過程，引導學生建立書本知識與實際問題的聯系。在大學數學教學內容中，涉及到的模型主要有初等函數模型、微分方程模型等.微分方程模型是一種比較常見的數學模型，涉及函數的導數的物理意義，弄清它的意義，對學生利用導數解決諸如邊際收入、邊際成本、人口增長率、交變電路的電流強度等問題奠定基礎。

案例1導數的概念引入。

導數對大部分學生來說并不陌生，但也只是僅限于中學時代的淺顯認識，筆者發現大多數學生并不能夠了解到導數的“變化率”這個物理意義，個人認為教師在教學過程中可采用“系統講授”與“數學建模思想”相結合的方式來進行，使學生更為直觀地認識到“變化率”。

1）問題引入

切線的研究是一個經典問題，它是導致微分學產生的問題之一。古希臘人通過對圓的切線的認識，將曲線的切線定義為“和曲線只有一個交點的直線”。而近代通過對函數曲線的研究又進一步認識到，曲線切線的確定是一個動態的過程，它是常量數學所不能表述和解決的。只有通過變量數學研究，才能最終解決曲線的切線問題。

2）導數的基本概念—變化率

從運動和極限的觀點來看，曲線的切線與其相應的割線之間有著密切的聯系，曲線的切線可定義為割線運動的極限，即k切=lim（Δy/Δx）=y′。

由上式可知，函數的導數可以看作是函數值隨自變量發生變化的“速度”，即函數相對于自變量的變化率.因此在解決有關“變化率”的實際問題時，可以利用一階導數建立微分方程數學模型，比如人口增長模型，傳染病的傳播模型、邊際成本、邊際收益等。

2.2 教學案例既要貼近生活，又需緊密結合教學內容

結合學生數學基礎，在學生對導數有基本認識之后，可針對導數應用問題，設計某些實際應用案例，達到融入數學建模思想和方法的目的。

案例2某基地種植青椒，如何合理安排最佳出售時機，才能使收益最佳？請你由往年市場行情數據，試解決如下問題：1）構建市場價格與時間的數學模型；2）構建青椒種植成本與時間的數學模型；3）何時出售純收益最佳？

學生通過進行市場調查、網絡搜索等方法搜集相關數據（略），并通過數據對應的離散圖可以看出，種植成本先降后升，符合二次函數模型；而價格與時間關系符合分段函數模型。

教師協助學生通過SPSS軟件進行回歸擬合，得到成本、售價與時間t的數學模型：

種植成本C與時間t的函數關系為：Q=（1/200）（t-150）2+100，（0

售價P與時間t的函數關系為：P=360-t（0

由上述模型可以看出，種植成本在150天時達到最小，而售價在200天達到最低，這是因為前50天種植成本低，使得市場的青椒供過于求而降價。

純收益=收益-成本，故收上述模型，可建立關于純收益的數學模型：

L=P-（1/200）（210-P）2-100（0

L=P-（1/200）（30+P/2）2-100（200

本案例從實際生活出發，數據由學生分組調查收集，使得問題變得更為靈活，學生查到的數據不同，所建立的模型也會有所不同，這無形之中增加了學生的學習數學的興趣和信心，讓學生真實體會到數學建模思想，培養學生的創新思維能力。

2.3 深層探討相關專題模型

在學生對導數基本概念有一定了解的基礎之上，可對相關“變化率”的數學模型進一步深入推廣，如成本函數、收益函數等系列變化率模型，使學生能夠更深層次地了解到邊際成本、邊際收益即為自變量增加一個單位時，相應的函數值增加量，亦即函數隨自變量發生變化的速度。而針對建工專業可介紹并深入探討有關人口增長率的數學模型，使學生能夠更深層次地認識到函數變化率的用途。

案例3 關于人口增長的數學模型。

馬氏模型的特點是設定人口的年增長率為常數r。若人口總數為時間t的函數x（t），則由函數導數的物理意義可知，人口數量函數x（t）的一階導數，就是人口數量一年的增長量rx（t），即x′（t）=rx（t），解得x（t）=x0er（t-t0）。

從該模型可以看出，在年增長率為常數不變的情況下，人口數量確實是以指數增長的。

1961年世界人口總數約為3.06*109，而在此之前10年的人口增長率大約為2%，如果用1961年的人口數據，通過上述表達式，計算可得x（t）=3.06*109e0.02（t-1961）。

上述模型能夠較為準確地預測和反映1700-1961年間的世界人口數量。但當時間跨度較大時，誤差就會比較大，如t=2510時，x=2*1014（2萬億），說明該模型對長期人口預測是不準確的，應當給予修正。馬氏模型之所以在預測長期人口總數時出現錯誤，其原因主要還是實際人口增長率并不是常數，它會隨著人口的增加而逐漸減少，那么應該如何進一步改進呢？

若環境人口的最大容量為xm，而人口增長率改為r=r*（1-x（t）/xm），即可得到經典的阻滯型人口增長數學模型x′（t）=r（1-x（t）/xm）x（t），x（t0）=x0，解得：x（t）=xm/[1+（xm/x0-1）e-r（t-t0）]。

20世紀初專家們曾用該模型預測了美國的人口總數量，而計算結果與1930年之前的美國人口數據基本相吻合，但后來的誤差越來越大，那么該模型該如何改進？留給學生課后思考。

3 結束語

廣州城建職業學院在數學建模競賽的推動下，工程數學課程的教學改革也有了較大的進展，而把數學建模思想融入到工程數學課程的教學之中，也是一種推動數學教學改革的有效途徑，達到以賽促教，競賽與教學相輔相成，從而能夠使教學改革取得較好的成效。

【參考文獻】

[1]楊啟帆，邊馥萍.數學建模[M].杭州：浙江大學出版社，1990.

[2]同濟大學數學教研室.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責任編輯：田吉捷]